Apuntes Sobre Derivadas

Universidad de San Carlos
Facultad de ingeniería



Incremento en z: z (plano Z)
������0 = 1 + 2������ , puede tener un incremento de ∆������ = 0.01 + 0.1������ , con módulo “pequeño”
∆������ = 0.012 + 0.12 = 0.1004987 y ángulo ������ = tan−1 (0.1/0.01) = 84.3° y se tiene
������0 + ∆������ = 1.01 + 2.1������ . También puede tener un incremento de cualquier otro complejo
∆������ demódulo pequeño con cualquier ángulo como se muestra en la tabla,
z = x +yi
0.01 + 0.1i
-0.1 + 0.02i
-0.06 - 0.05i
0.3 – 0.3i
0.01 (con y = 0)
-0.1i (con x = 0)

|z|
0.1004987
0.1019804
0.0781024
0.4242641
0.01
0.1

Fase de z
84.3°
168.68°
-140.19°
-45°
0°
-90°

x0 + x + i(y0 + y)
(1 + 0.01) + i(2 + 0.1)
(1 - 0.1) + i(2 + 0.02)
(1 - 0.06) + i(2 – 0.05)
(1 + 0.3) +i(2 – 0.3)
(1 + 0.1) + 2i
1 + (2 – 0.1)i

z0 + z
1.01 + 2.1i
0.9 + 2.02i
0.94 + 1.95i
1.3 + 1.97 i
1.01 + 2i
1 + 1.9i

Note que como ∆������ = ∆������ + ������ ∆������, hay un número infinito de incrementos ∆������ en diferentes
direcciones alrededor de ������0.
En general un punto fijo ������0 = ������0 + ������ ������0 , puede incrementarse con un complejo de módulo
“pequeño” y decualquier ángulo: = ∆+ ������  . Reiteramos, hay un número infinito de
������
������
∆������
incrementos alrededor de z0. ¡Imagínelos!
x
y

y
z

z

z0 + z

z0
iy z
x 0

y

i y

z

z0 + z

z0

z0

z
x

0

������0 = ������0 + ������������0 ,

x
∆������ = ∆������ + ������ ∆������,

������0 + ∆������ = (������0 + ∆������) + ������ (������0 +∆������)
Para cualquier complejo ������ = ������ + ������������ fijo tenemos,
������ = ������ + ������������,

∆������ = ∆������ + ������∆������

������ + ∆������ = (������ + ∆������) + ������(������ + ∆������)

z

0

z 0 + z
x

Apuntes sobre derivada compleja, MA5N

Incremento en ������ : ∆������ (Plano W)
Considere una función ������ = ������ ������ = ������ ������, ������ +������������(������, ������) definida en una región que
contiene a ������0 = ������0 + ������ ������0 y ������0 + ∆������ = (������0 + ∆������) + ������ (������0 + ∆������), se define el incremento
en ������ = ������ (������) cuando z cambia de ������0 a ������0 + ∆������, con la expresión,
∆������ ������0 , ������0 = ������ ������0 + ∆������ − ������ ������0 = ∆������ ������0 , ������0 + ������ ∆������������0 , ������0
Plano Z
z0+z x
y
z
i y
z0
z0 + z

z0
iy z
x 0

w

w0 =f(z0)
u

Plano W
w0 + w = f(z0 + z)
v
iv
w0 + w

w0

x

w
0

donde,
∆������(������0 , ������0 ) = ������ ������0 + ∆������, ������0 + ∆������ − ������(������0 , ������0 ),
∆������(������0 , ������0 ) = ������ ������0 + ∆������, ������0 + ∆������ − ������(������0 , ������0 ),
Engeneral si ������ cambia en ∆������, se define el incremento en ������ = ������(������),
∆������ ������, ������ = ������ ������ + ∆������ − ������ ������ = ∆������ ������, ������ + ������∆������ ������, ������

donde,
∆������(������, ������) = ������ ������ + ∆������, ������ + ∆������ − ������(������, ������),
∆������(������, ������) = ������ ������ + ∆������, ������ + ∆������ − ������(������,������),

Ejemplo 1
Si ������ ������ = sin(z), ������ = 1 + 2������ , ������ ∆������ = 0.001 − 0.002������
∆������ = ������ ������ + ∆������ − ������ ������
∆������ = sin ������ + ∆������ − sin ������
∆������ = sin 1 + 2������ + 0.001 − 0.002������ − sin 1 + 2������

u

iv
u

Apuntes sobre derivada compleja, MA5N

∆������ = sin 1.001 + 1.008������ − sin 1 + 2������
∆������ =−0.0040702404191192976 − 0.0071080791247288833 j ■
Se puede calcular usando sus partes reales e imaginarias
������ = ������ + ������������ = 1 + 2������ , ������ ∆������ = ∆������ + ������ ∆������ = 0.001 − 0.002������
������ ������ = sin ������ = sin ������ + ������������ = sin ������ cosh ������ + ������cos(������)sinh(������)
������ ������, ������ = sin ������ cosh...