Areas y volumenes

Encuentra el área de la región con forma de hélice, acotada por las curvas:
x-y^(1⁄3)=0 y x-y^(1⁄5)=0
Solución: A=∫_0^1▒〖x-〗 y^(1\/3) dy-∫_0^1▒〖x-〗 y^(1\/5) dy
A=[(xy-y^(4\/3)/(4\/3))-(xy-y^(6\/5)/(6\/5))]_0^1
A=[(xy-(3y^(4\/3))/4)-(xy-(5y^(6\/5))/6)]_0^1
A=[x-3/4]-[x-5/6]=1/12 〖*2=1/6 u〗^2 A=1/6 u^2
Encuentra el área de la región en el primer cuadrante, acotada por la rectay=x, la recta y=2, la curva y=1/x^2 , y el eje x
Solución:
A=∫_0^1▒〖 xdx+∫_1^2▒1/x^2 〗 dx
A=[x^2/2]_0^1+[-1/x]_1^2
A=[1/2]+[-1/2+1]A=1u^2
Encuentre el área de región triangular acotada por la izquierda pory=√x, por la derecha por y=6-x y debajo por y=1
Solución:
A=∫_1^2▒〖(6-y)-(y^2)dy〗
A=∫_1^2▒〖(6-y-y^2)dy〗
A=6∫_1^2▒dy-∫_1^2▒〖ydy-∫_1^2▒〖y^2 dy〗〗
A=[6y-y^2/2-y^3/3]_1^2A=[6(2)-〖(2)〗^2/2-〖(2)〗^3/3]-[6(1)-〖(1)〗^2/2-〖(1)〗^3/3]A=13/6 u^2




Encuentre el área de la región triangular acotada por la izquierda por x+y=2, por la derecha por 〖y=x〗^2 y por arriba por y=2
Solución: A=∫_1^2▒√y dy-∫_1^2▒〖2-ydy〗
A=∫_1^2▒y^(1\/2) dy-∫_1^2▒〖2-ydy〗
A=[(y^(3\/2)/(3\/2))-(2y-y^2/2)]_1^(2 )
A=[((2y^(3\/2))/3)-(2y-y^2/2)]_1^2
A=1.2189-1/2≈0.718A=0.718u^2
Haya el volumen del solido derevolución generado al hacer girar la región acotada por las graficas:〖 y=x〗^2+1, y=0,x=0 y x=1 en torno al eje Y.
Solución: V=2π∫_0^1▒〖x(x^2+1)dx〗
V=2π∫_0^1▒〖x^3+xdx〗
V=2π[x^4/4+x^2/2]_0^1
V=2π*3/4 V=3/2 πu^3


Calcular el volumen del solido de revolución generado al hacer girar la región acotada por las graficas de 〖 y=x〗^3+x+1,y=1,x=1 en torno a la recta x=2
Solución:V=2π∫_0^1▒〖(2-x)(x^3+x+1-1)dx〗
V=2π∫_0^1▒〖2x^3+2x-x^4-x^2 dx〗
V=2π[〖-x〗^5/5+〖2x〗^4/4-x^3/3+(2x^2)/2]_0^1
V=2π*29/30 V=58/30 πV=29/15 πu^3
Calcular el volumen del solido de revolución generado al hacer girar la región acotada por 2x-3y=0, y=2 y x=0 alrededor del eje Y
Solución:
V=π∫_0^2▒〖[3y/2]^2 dy〗
V=2π/3 ∫_0^3▒〖u^2 du〗 V=2π/3*u^3/3
V=[(2πu^3)/9]_0^3 V=6πu^3
Un fabricante diseña un objeto metálico, enforma de esfera con radio de 5 pulgadas y con un orificio en su interior. El hueco tiene un radio de 3 pulgadas. Cual es el volumen del objeto metálico resultante?
Solución:
x^2+y^2=25 y=3
x^2 〖(3)〗^2=25
x=±4y=√(25-x^2 )
V=π∫_(-4)^4▒〖(√(25-) x^2 )^2-〖(3)〗^2 〗 dx
V=π∫_(-4)^4▒〖(25-x^2 )-(9)dx〗
V=π∫_(-4)^4▒〖16-x^2 〗 dx
V=π[16x-〖x/3〗^3 ]_( -4)^4 V=256π/3 u^2



Encuentrael área de la región con forma de hélice, acotada por las curvas:
x-y^(1⁄3)=0 y x-y^(1⁄5)=0
Solución: A=∫_0^1▒〖x-〗 y^(1\/3) dy-∫_0^1▒〖x-〗 y^(1\/5) dy
A=[(xy-y^(4\/3)/(4\/3))-(xy-y^(6\/5)/(6\/5))]_0^1
A=[(xy-(3y^(4\/3))/4)-(xy-(5y^(6\/5))/6)]_0^1
A=[x-3/4]-[x-5/6]=1/12 〖*2=1/6 u〗^2 A=1/6 u^2
Encuentra el área de la región en el primer cuadrante, acotada por la recta y=x, la rectay=2, la curva y=1/x^2 , y el eje x
Solución:
A=∫_0^1▒〖 xdx+∫_1^2▒1/x^2 〗 dx
A=[x^2/2]_0^1+[-1/x]_1^2
A=[1/2]+[-1/2+1]A=1u^2
Encuentre el área de región triangular acotada por la izquierda pory=√x, por la derecha por y=6-x y debajo por y=1
Solución:
A=∫_1^2▒〖(6-y)-(y^2)dy〗
A=∫_1^2▒〖(6-y-y^2)dy〗
A=6∫_1^2▒dy-∫_1^2▒〖ydy-∫_1^2▒〖y^2 dy〗〗
A=[6y-y^2/2-y^3/3]_1^2A=[6(2)-〖(2)〗^2/2-〖(2)〗^3/3]-[6(1)-〖(1)〗^2/2-〖(1)〗^3/3]A=13/6 u^2




Encuentre el área de la región triangular acotada por la izquierda por x+y=2, por la derecha por 〖y=x〗^2 y por arriba por y=2
Solución: A=∫_1^2▒√y dy-∫_1^2▒〖2-ydy〗
A=∫_1^2▒y^(1\/2) dy-∫_1^2▒〖2-ydy〗
A=[(y^(3\/2)/(3\/2))-(2y-y^2/2)]_1^(2 )
A=[((2y^(3\/2))/3)-(2y-y^2/2)]_1^2
A=1.2189-1/2≈0.718A=0.718u^2
Haya el volumen del solido de revolucióngenerado al hacer girar la región acotada por las graficas:〖 y=x〗^2+1, y=0,x=0 y x=1 en torno al eje Y.
Solución: V=2π∫_0^1▒〖x(x^2+1)dx〗
V=2π∫_0^1▒〖x^3+xdx〗
V=2π[x^4/4+x^2/2]_0^1
V=2π*3/4 V=3/2 πu^3


Calcular el volumen del solido de revolución generado al hacer girar la región acotada por las graficas de 〖 y=x〗^3+x+1,y=1,x=1 en torno a la recta x=2
Solución:...