arquitectura


DIFERENCIALES

La notación para la derivada de la función y = f ( x ) es:
= f’ (x )
En donde se representa la variación instantánea de una variable con respecto a la otra, que es el límite de la función.

La variación de la variable independiente es su diferencial. Pero la diferencial de la variable dependiente no es igual a su incremento, lo cual se puede ver en la siguientefigura:









Cuando se incremente la variable independiente x la diferencial de la variable dependiente dx se incrementa por ambos lados formándose el cuadrado de la misma.. Por lo tanto, para encontrar la diferencial de una función, se hace a través de la derivada de la misma. Siendo:

La diferencial de una función es la variación que experimenta la variable dependiente de acuerdoa la variación de la variable independiente a través de su derivada.

Para encontrar la diferencial de una función, se realizan los pasos siguientes:

1.- Se deriva la función
2.- se despeja dy
3.- Si se conoce el valor de la variable independiente y su variación dx se sustituyen y se calcula.

Ejemplos:

1.- Hallar dy para:
a) y =
b) y =
c) y =
d) y = cos bx2
e) y= arc cos 2x
f) y = ln tg x


APROXIMACIONES POR DIFERENCIALES

2.- Calcular la diferencial de la función
El cálculo de una diferencial es válida como una aproximación siempre y cuando la variación de dx sea relativamente pequeña.
Ejemplo:
Tomemos y = x2 + x + 1 e incrementemos x de 2 a 2.01. El cambio real en y es . El cambio aproximado en y, obtenido al tomar x = 2 y dx =0.01, es

APROXIMACIONES DE RAICES DE ECUACIONES

Cuando se quiere obtener el valor aproximado de la raíz de un número cualquiera se deben hacer los pasos siguientes:

Ejemplo:

Hallar la raíz aproximada mediante diferenciales de

Como se sabe, el número 124 no tiene una raíz cúbica exacta, sin embargo es un valor muy aproximado a 125 que si tiene raíz cúbica exacta. Basándonosen esta referencia, se plantea el problema de la siguiente manera:

Por ser una raíz enésima de un valor cualquiera. Se escribe
dándole valor a x = 125 por tener este número raíz cúbica exacta
Por lo tanto, como el valor del problema es 124, existe una diferencia entre
estos dos valores, esta diferencia es dx = -1Es negativo por ser el valor del problema menor que el valor de referencia
Sería positivo en caso contrario.
Se deriva la función

Se despeja dy
Se sustituyen los valores conocidos en dy
= -0.0133
dy es la variación de la variable dependiente, no es la raíz de 124




Se finaliza el problema estableciendo larelación:

Si entonces:

pero como el valor de dy es negativo


El mismo principio se aplica para cualquier cálculo de valores numéricos, siempre hay que buscar un valor de referencia de acuerdo a la función pedida.

Ejercicios:

Hallar el valor aproximado por medio de diferenciales de :

a) b)c) cos 59° d) tg 44°

Usar diferenciales para aproximar el cambio en :

a) x3 cuando x cambia de 5 a 5.01
b) 1/x cuando x cambia de 1 a 0.98

Cuando se quiere calcular un valor aproximado a través de un problema de física, es necesario plantear la ecuación.

Ejemplo:

Si un aviador vuela alrededor de la tierra sobre el ecuador a una altura de 2millas. ¿Cuántas millas más recorre respecto de una persona que diese la vuelta caminando por el ecuador?

Respuesta: Lo que se pretende calcular es el perímetro de una circunferencia, por lo tanto, se plantea:
P = r donde dr = 4 millas siendo 2 por cada lado

Se deriva

Se despeja dP dP = dr

Se sustituye...