Arreglos

Cap´
ıtulo

12

Matrices o arreglos bidimensionales
12.1. Conceptos y notaci´n
o
Una matriz es un arreglo rectangular de objetos, los cuales generalmente son n´meros,
u
caracteres, valores booleanos, y cualesquiera otro tipo de elementos que pertenecen a un
mismo conjunto.
Ejemplo. La siguiente estructura rectangular de n´meros enteros denotada por la expreu
si´n X es una matriz
o⎡1 3 7 −2 8⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
X = ⎢9 11 5 6 4⎥
⎢
⎥
⎢6 −2 −1 1 1⎥
⎣
⎦
En general, una matriz X se puede representar de la siguiente manera
⎡ x11
x12
x13
⋯
x1(m−1)
x1m ⎤
⎢
⎥
⎢ x21
x22
x23
⋯
x2(m−1)
x2m ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⋱
⎥
X =⎢
⎢
⎥
⎢x(n−1)1 x(n−1)2 x(n−1)3 ⋯ x(n−1)(m−1) x(n−1)m ⎥
⎥
⎢
⎢ x
xn2
xn3
⋯
xn(m−1)
xnm ⎥
⎣ n1
⎦
donde la matriz est´ compuesta por n filas y mcolumnas, a esta matriz se le dice que es
a
de tama˜o n × m.
n
⎡ x11 x12
⎢
⎢x
x22
⎢
X = ⎢ 21
⎢
⎢
⎢xn1 xn2
⎣

⋯ x1m ⎤
⎥
⋯ x2m ⎥
⎥
⎥
⎥
⋱
⎥
⋯ xnm ⎥
⎦

m
187

n

188

CAP´
ITULO 12. MATRICES O ARREGLOS BIDIMENSIONALES

Ejemplo. La siguiente matriz es una matriz de tama˜o 4 × 5
n
⎡0
⎢
⎢0
⎢
X =⎢
⎢0
⎢
⎢0
⎣

0
0
0
0

0
0
0
0

0
0
0
0

0⎤
⎥
0⎥
⎥
⎥0⎥
⎥
0⎥
⎦

A los objetos de la matriz se les llaman componentes o entradas de la matriz, y para
referirse a una componente en particular, a ´sta se le dice que es la componente en la
e
posici´n (i, j), esto significa que el objeto es la componente ubicada en la fila i y en el
o
columna j, se denota por la expresi´n Xij y se puede ubicar dentro de la matriz como se
o
muestra acontinuaci´n
o

columna j

fila i

⎡ x11
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢ xi1
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢xn1
⎣

⋯
⋱
⋯
⋱
⋯

x1j
xij
xnj

⋯ x1m ⎤
⎥
⎥
⋱
⎥
⎥
⋯ xim ⎥
⎥
⎥
⎥
⋱
⎥
⋯ xnm ⎥
⎦

Ejemplo. Para la matriz
3
⎡ 2
−1 4 −0.25 e ⎤
⎢
⎥
⎢ 1 √
⎥
⎢ −5
2 4 √
0.0
6⎥
⎢
⎥
X =⎢
1
3
3⎥
⎢3.14 π 2
⎥
⎢√
⎥
⎢ 3 5 −10 0 −5 0.9⎥
⎣
⎦

de tama˜o 4 × 5 se tiene que sus componentes son:
n
• X11 = 2.• X12 = −1.

• X21 = − 1 .
5
√
• X22 = 2.

• X13 = 3 .
4

• X23 = 4.

• X14 = −0.25.

• X24 = 0.0.

• X33 = 1 .
2
√
• X34 = 3.

• X15 = e.

• X25 = 6.

• X35 = 3.

√
3
5.

• X31 = 3.14.

• X41 =

• X32 = π.

• X42 = −10.
• X43 = 0.
• X44 = −5.
• X45 = 0.9.

Cuando en una matriz se tiene que el n´mero de filas es igual al n´mero de columnas
u
u
se diceque la matriz es cuadrada.
Ejemplo. La siguiente matriz de tama˜o 2 × 2, es una matriz cuadrada cuyas entradas
n
son valores del conjunto booleano (B)

189

12.2. DEFINICIONES ALTERNATIVAS

V F
X =[
]
F V
Ejemplo. La siguiente matriz de tama˜o 4 × 4, es una matriz cuadrada cuyas entradas
n
son n´meros reales, se le conoce como la matriz identidad de tama˜o 4 × 4 y se denota por
un
la expresi´n I4
o
⎡1 0 0 0⎤
⎢
⎥
⎢0 1 0 0⎥
⎢
⎥
⎥
I4 = ⎢
⎢0 0 1 0⎥
⎢
⎥
⎢0 0 0 1⎥
⎣
⎦

12.2. Definiciones alternativas
Una forma de entender la estructura interna de una matriz distinta a la definida previamente, es la de interpretarla como un arreglo de arreglos, esto es, verla como un arreglo
cuyas componentes son a su vez otros arreglos; como se explica a continuaci´n:
oi) Definici´n de matrices por vectores fila
o
Una matriz puede verse como un vector columna cuyas componentes son vectores
fila, as´ una matriz es un vector de tama˜o n × 1 cuyas componentes son vectores de
ı
n
tama˜o 1 × m.
n

n

⎡ x11 x12
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢ xi1 xi2
⎢
⎢
⎢
⎢x
⎣ n1 xn2

⋯ x1m ⎤
⎥
⎥
⋱
⎥
⎥
⋯ xim ⎥
⎥
⎥
⋱
⎥
⋯ xnm ⎥
⎦

⎡
⎤
⎢ [ x11 x12 ⋯ x1m ] ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢⎥
⎢
= ⎢ [ xi1 xi2 ⋯ xim ] ⎥ n
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢[ x
⎥
⎢ n1 xn2 ⋯ xnm ]⎥
⎣
⎦

m
1
ii) Definici´n de matrices por vectores columna
o
Una matriz puede verse como un vector fila cuyas componentes son vectores columna,
as´ una matriz es un vector de tama˜o 1 × m cuyas componentes son vectores de
ı
n
tama˜o n × 1.
n

n

⎡ x11
⎢
⎢x
⎢ 21
⎢
⎢
⎢
⎢xn1
⎣

⋯ x1j
⋯ x2j
⋱...