Arte

L´ INEAS DE FASES
´ E. SAEZ

Sea el dominio Ω ⊂ R × R y la funci´n F : Ω → R. o x F R Ω t Fig. 1 Una expresi´n de la forma o dx = F (t, x) , o bien, x = F (t, x) ˙ dt se llama Ecuaci´n Diferencial Ordinaria (E.D.O.) de Primer Orden definida en Ω. o (1) dx = t sen x , x = et (x2 − 1) ˙ dt Observaci´n: Si la funci´n F : Ω → R es de la forma F (t, x) ≡ F (x) en Ω, es o o decir, F es s´lo funci´nde la variable x, entonces (1) se reduce a una ecuaci´n del o o o tipo Ejemplos: (2) x = F (x) ˙ En estos casos se dice que (2) es Aut´noma. En caso contrario (1) se dice Noo aut´noma. o Ejemplos de Ecuaciones Aut´nomas: o x = sen(ex −1 ), ˙ dx = x3 − 3x2 + µx , donde, µ es un par´metro real a dt Definici´n Sea I un intervalo de R. Una curva en Ω, parametrizada por una o funci´n φ : I → R, t → φ(t),se llama una soluci´n de (1) si y s´lo si satisface, en el o o o
Departamento de Matem´tica, UTFSM a e–mail: eduardo.saez@usm.cl http://docencia.mat.utfsm.cl/ esaez/ .
1
2

2

´ E. SAEZ

intervalo I, la identidad siguiente: d (φ(t)) ≡ F (t, φ(t)) (3) dt Interpretaci´n interesante: o Sea (t0 , φ(t0 )) un punto arbitrario pero fijo de la gr´fica de una soluci´n φ. Por el a o C´lculo y laidentidad anterior, el valor de la imagen F (t0 , φ(t0 )) es la pendiente de a la recta tangente a dicha curva soluci´n por el punto (t0 , φ(t0 )). Luego o (4) x − x0 = F (t0 , x0 )(t − t0 ) , donde , x0 = φ(t0 ) es la ecuaci´n de la recta tangente a la curva soluci´n en el punto (t0 , φ(t0 )), es decir, o o cualquier curva soluci´n por el punto considerado es TANGENTE a la recta (4) (ver o Fig. 2).(t0 , φ(t0 )) • F R • F (t0 , x0 )

Fig. 2 Comentario: Las preguntas sobre existencia y unicidad de soluciones de (1), depende de las propiedades de la funci´n F . Estos problemas se estudian en cursos m´s o a avanzados, ver por ejemplo [3]. En estas notas s´lo nos limitamos a sus enunciados. o Teorema de Existencia Sea F : Ω → R una funci´n continua en el dominio Ω. Para todo punto (t0 , xo )∈ Ω o existe una funci´n φ : I → R definida en alg´ n intervalo I, soluci´n del problema de o u o valor inicial llamado de Cauchy. dx = F (t, x) , tal que , φ(t0 ) = x0 dt La Figura 3, ilustra el Teorema con dos soluciones φ1 , φ2. x Ω x0 • t0 Teorema de Unicidad Fig. 3 Sea F : Ω → R, tal que; F, ∂F son funciones continuas en el dominio Ω. Para todo ∂x punto (t0 , xo ) ∈ Ω existe una unica funci´n φ: I → R definida en alg´ n intervalo I ´ o u de R, soluci´n unica del problema de valor inicial de Cauchy. o ´ t x = φ2 (t) = φ (t) x 1

L´ INEAS DE FASES

3

N´tese que si en (2), F es un polinomio en la variable x, entonces la Ecuaci´n o o Diferencial admite soluci´n unica ∀(t, x) ∈ R2 . En lo que sigue, siempre supondremos o ´ existencia y unicidad de los problemas de Cauchy. Pregunta 1:¿C´mo describir la forma de las curvas en Ω, que son gr´ficas de o a soluciones de (2)? Para responder esta pregunta recordemos la idea geom´trica sobre traslaciones de e gr´ficas respecto de un sistema de coordenadas. Si una variable de una funci´n, por a o o ejemplo x, se reemplaza por la traslaci´n x → x − c donde c es una constante real, entonces la gr´fica de la funci´n se traslada en ladirecci´n positiva (resp. negativa) a o o del eje x si c > 0 (resp. c < 0). La Fig. 4 ilustra este comentario en el caso c > 0
− c)

y = f (x)

y

=

(x
g

)=

f (x

x−c x Fig. 4 Respuesta parcial de la Pregunta 1. Sea una E.D.O. Aut´noma, o

x

dx = F (x) dt Las Ecuaciones Diferenciales Aut´nomas son definidas en dominios de la forma R × I, o donde I = dom(F ). Supongamos que ξ : (−∞,∞) → R , t → ξ(t) , es una soluci´n o de (5). Entonces cualquier traslaci´n de la gr´fica de ξ en la direcci´n del eje t, es o a o una gr´fica de una nueva soluci´n de (5). En efecto, sea la nueva funci´n trasladada a o o (5) η : (−∞, ∞) → R , tal que , η(t) = ξ(t − c) , c ∈ R constante Entonces las siguientes identidades son inmediatas en el intervalo I = R ˙ η(t) ≡ ξ(t − c) ≡ F (ξ(t − c)) ≡ F...