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TEMA 6: LA INTEGRAL INDEFINIDA

1.- Integral indefinida. Definiciones.
2.- Propiedades de la integral indefinida.
3.- Integrales inmediatas.
4.- Métodos de integración.



1.- Integral indefinida. Definiciones

Definición: Dada una función f(x), diremos que la función F(x) es una función primitiva de f(x) en el intervalo [a, b], cuando se verifica que:* Ejemplo: Dada la función , entonces es una primitiva de f(x), es otra primitiva, es otra, .... porque al derivar F1(x), F2(x) y F3(x) se obtiene f(x).

Proposición: Si F(x) es una primitiva de f(x) y C es una constante, entonces F(x) + C también es una primitiva de f(x).

Demostración: La demostración es evidente:

Si F(x) esuna primitiva de f(x)
es también primitiva de f(x).

Pero también se da la proposición inversa, es decir:

Proposición: Si F(x) y G(x) son dos funciones primitivas de f(x) en [a, b], entonces su diferencia es una constante, es decir F(x) – G(x) = C, siendo C una constante, para todos los puntos de dicho intervalo..

Demostración: Por hipótesis F(x) y G(x) son funcionesprimitivas, entonces por definición de primitiva se verifica que y , y en tal caso tenemos que:


Pero ya hemos visto con anterioridad que si una función tiene derivada 0 en todos los puntos de un intervalo entonces dicha función es constante en dicho intervalo, luego existe C constante tal que:



En virtud de los anterioresresultados podremos dar la siguiente definición de integral indefinida:


Definición: Llamaremos integral indefinida de una función f(x) al conjunto de todas las primitivas de la función, es decir, dada una función primitiva F(x) de f(x) entonces llamaremos integral indefinida de f(x) al conjunto:



A dicho conjunto lorepresentaremos como .


* Ejemplo: Dada la función f(x) = 3x2, como F(x) = x3 es una primitiva de dicha función, la integral primitiva será el conjunto de todas las funciones que resultan de sumarle un número real a dicha función, es decir:




* Observación: Es fundamental tener siempre presente que la integral indefinida deuna función es “un conjunto de funciones”.



2.- Propiedades de la integral indefinida

a)

b)

c)


La demostración de estas propiedades es muy sencilla basándose en las propiedades de las derivadas.


3.- Integrales inmediatas.

La tabla de integrales inmediatas es una consecuencia directa de la tabla de derivadas que ya conocemos puesto que estamos haciendo el procesoinverso.
Las integrales inmediatas que debemos conocer son las siguientes:











TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS

TIPOS
EJEMPLOS
Tipo potencial
+ C
+ C


Tipo logarítmico
+ C
+ C

Tipo exponencial
+ C
+ C



Tipo coseno
+ C
+ C


Tipo seno
+ C
+ C



Tipo tangente
+ C
+ C



Tipo cotangente
+ C
+ C




+ C
+ C


Tipo arco tang.(=-arc cotang.)
+ C
+ C





4.- Métodos de integración.

En este apartado vamos a ver los siguientes métodos:

Integrales que se simplifican previamente o que se descomponen.
Integrales que se transforman en inmediatas.
Integración por sustitución o cambio de variable
Integración por partes
Integración de funciones racionales


4.1.- Integrales que se simplifican previamente o sedescomponen

Algunas veces, antes de realizar la integral correspondiente, se procede a simplificar la expresión por si de esa forma se puede integrar mejor. Posteriormente, haciendo uso de las propiedades de las integrales, se descomponen en otras más sencillas, transformándose en una simple suma de integrales más elementales. Veamos algunos ejemplos:

                                 
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