Asociacion_y_Regresion

notas sobre asociación y regresión lineal

ASOCIACIÓN Y CORRELACIÓN
Dato apareado: Es un par de valores uno de la variable X i y otro de la variable Yj,
que se simbolizan (Xi,Yj) y que surgen de contar, medir, u observar dos
características simultáneamente en cada uno de los elementos unitarios de la
población.
Concepto de Asociación: Si cambios en una variable Xi, son acompañadossistemáticamente por cambios en otra variable Y j, decimos que el conjunto de pares
de datos apareados (Xi,Yj) están asociados o correlacionados.
Para tener una primera impresión de la relación que existe entre un conjunto de
pares de datos apareados, utilizamos el Diagrama de Dispersión: que es la
representación gráfica de los pares de datos apareados (también llamado nube de
puntos)
Por ejemplo: Si de unconjunto de alumnos (datos hipotéticos), conocemos la
cantidad de horas diarias de estudio Xi y el número de materias rendidas en el último
semestre Yj, la representación gráfica sería:
Alumnos del Presente Período Lectivo

Nº Materias Rendidas

3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

Hs. diarias de estudio

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En el estudio conjunto de dos variables, lo que nos interesa principalmente es saber
si existe algún tipo de relación entre ellas. Esto se ve gráficamente con el Diagrama
de Dispersión.
Ahora bien, hace falta una medida descriptiva que sirva para medir o cuantificar esta
relación: esta es la COVARIANZA, es un promedio de áreas entre valores de la
variable y su media respectiva. Me indicael sentido de la relación que existe entre
dos variables.

1
 ( x   x ).( y   y ).
N i j
1
  ( x   x ).( y   y ). f ( x, y )
N i j

Para datos sin agrupar

x y 

Para datos agrupados

x y

,

,

Si  x, y > 0 podemos decir que existe asociación positiva o directa, es decir a
cambios en la variable Xi, corresponden cambios en la variable Yj, en igual sentido.
Si  x, y = 0 lasvariables no están asociadas, es decir no hay relación lineal.
Si  x, y < 0 decimos que existe asociación negativa o inversa, o sea que a cambios
en la variable Xi, corresponden cambios en la variable Yj, en sentido inverso.

PROPIEDADES DE LA COVARIANZA
1.- Si a todos los valores de la variable Xi, les sumamos una constante k y a todos
los valores de la variable Yj les sumamos una constante k’, lacovarianza no varía.
2.- Si a todos los valores de una variable Xi los multiplicamos por una constante k y a
todos los valores de la variable Yj los multiplicamos por una constante k’, su
covarianza queda multiplicada por el producto de las constantes.
3.- A partir de las anteriores: si tenemos dos variables Xi, Yj con la covarianza  x, y
transformaciones lineales de las variables de la formaz=a.x+b, y t=c.y+d, la nueva
covarianza se relaciona con la anterior de la forma:

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 z t  a  c  x y
,

ó

,

 ax b cy  d  a  c   x y
,

,

4.- Otra forma de calcular la covarianza que utilizaremos en la práctica será:

1
 x. y   x . y
N i j
1
  x. y. f ( x, y )   x . y
N i j

Para datos sin agruparx y 

Para datos agrupados

x y

,

,

NOTA: El inconveniente de la covarianza, como medida de asociación es su
dependencia de las unidades. Habrá que definir una nueva medida, que no está
afectada por los cambios en las unidades de medida. Esta medida será el
Coeficiente de Correlación Lineal de PEARSON (rho) que nos permite cuantificar la
intensidad de la relación lineal entre dos variables.
ElCOEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL DE PEARSON “  x, y ”, es el parámetro
que nos permite la cuantificación del grado y el sentido de la relación entre dos
variables, cuyo valor oscila entre –1 y +1:

x y 
,

x y
,

 x . y

-1   x, y  1

con

Siendo  x y  y las desviaciones estándar de Xi e Yj respectivamente. Este
coeficiente es adimensional y siempre estará entre –1 y 1.
Si hay...