Autovalores

Autovalores y autovectores

1 Autovalores y autovectores
Idea. Una matriz A de n × n transforma un vector x de RN en otro vector Ax de RN .
Buscamos los vectores x = 0 (¿por qu´e distintos de cero?
Ejercicio) que al ser transformados por
A se mantienen en la misma direcci´on
Ax = λx

Definici´
on 1 Un vector propio de A es un vector x distinto de cero tal que Ax = λx para alg´
un λ ∈ R. A λ sele
llama valor propio asociado a A.
¿C´omo encontramos x y λ? Despejando en la expresi´on Ax = λx tenemos
(A − λI)x = 0,
luego x ∈ N(A − λI) .
Como x = 0 necesitamos que el sistema tenga soluciones no triviales; es decir, λ es valor propio ⇔ det(A − λI) = 0
Definici´
on 2 El espacio propio de A correspondiente a λ, V (λ), es el conjunto de todas las soluciones de (A−λI)x = 0,
es decir V (λ) = N(A −λI).
Definici´
on 3 El polinomio caracter´ıstico de A es PA (λ) = det(A − λI).
Importante. λ son las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico, es decir PA (λ) = 0.

Ejemplo 1 Dada la matriz
A=

2
3

3
−6

formamos su polinomio caracter´ıstico para encontrar los valores propios. Son las soluciones de det(A−λI) = (2−λ)(−6−λ)−9 =
0. Es un polinomio de grado dos que tiene dos soluciones. Luego hay dosvalores propios λ1 = 3 y λ2 = −7.
Para encontrar los vectores propios asociados a cada valor propio tenemos que buscar los vectores tales que (A − λI)x = 0.
Es decir, buscamos x ∈ N(A − λI) para cada uno de los valores propios que hemos encontrado.
λ=3
A − 3I =

−1
3

3
−9

−1
0

∼

3
0

=⇒ V (3) = Gen

3
1

.

λ = −7
A + 7I =

9
3

3
1

∼

9
0

3
0

=⇒ V (−7) = Gen

−1
3

.

Ejercicio 2 λ = 0 es unvalor propio v´
alido (no as´ı el vector propio x = 0). Pero, ¿qu´e implica sobre la invertibilidad de la
matriz el hecho de que 0 sea un valor propio?

1

Ejercicio 3 Encontrar los valores propios y vectores propios de

1
3

A =  3 −5
3
3


3

−3  .
1

Observaci´
on.
λ es ra´ız simple
λ es ra´ız doble

1 vector propio.
1 o 2 vectores propios.

Definici´
on 4 La multiplicidad algebraica, nλ, de un valor propio λ es la multiplicidad que tiene como ra´ız del
polinomio caracter´ıstico. La multiplicidad geom´etrica, mλ , de un valor propio λ es la dimensi´on de su espacio propio
asociado mλ = dimV (λ).
Importante.
mλ ≤ nλ

2 Diagonalizaci´
on de matrices
Ejemplo 4 Calculamos las potencias

5 0

D= 0 3
0 0

de

0

0 ,
2



25

D2 =  0
0

0
15
0


0

0 ,
4



5k

k
D = 00

0
3k
0


0

0 .
k
2

Idea. Queremos construir matrices diagonales, porque calcular sus potencias es muy f´acil.

Definici´
on 5 A y B son matrices semejantes si existe una matriz P invertible, tal que
A = P BP −1
Definici´
on 6 A es una matriz diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal
A = P DP −1
con D una matriz tal que todos los elementos que no est´an en la diagonal son cero.¿Cu´ando es una matriz A diagonalizable?
Importante.
El conjunto {v1 , . . . vr } es linealmente independiente si v1 , . . . vr son los vectores propios
asociados a valores propios λ1 , . . . λr diferentes.
Los siguientes enunciados son equivalentes
1. A es diagonalizable.
2. A tiene n vectores propios linealmente independientes.
3.

k
i=1

nλi = n y nλi = mλi , siendo k el n´
umero de vectorespropios.

4. existe una base de Rn formada por vectores propios.
Si A tiene n valores propios distintos entonces es diagonalizable.
2

2.1. Algoritmo para diagonalizar una matriz A. Diagonalizar, si es posible, la siguiente matriz


1
3
3


A =  −3 −5 −3  .
3
3
1
Paso i:

Encontrar los valores propios de A.

Resolvemos la ecuaci´on caracter´ıstica, det(A − λI) = 0. Esta ecuaci´on contiene unpolinomio de grado n en λ.
El determinante de (A − λI) es en este ejemplo

1−λ

det 
−3
3

3
−5 − λ
3


3

2
−3  = −(λ − 1)(λ + 2)
1−λ

y por tanto tenemos como valores propios λ = 1 y λ = −2 (doble).

¡CUIDADO! Si hay n autovalores distintos la matriz es diagonalizable. En caso contrario (como en el ejemplo) no
podemos afirmar si es diagonalizable o no.
Paso ii:

Encontrar los vectores...