autovalore y autovector

AUTOVALORE Y AUTOVECTOR
En álgebra lineal, los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar  recibe el nombre valor propio, autovalor, valor característico o eigenvalor. A menudo, una transformación quedacompletamente determinada por sus vectores propios y valores propios. Un espacio propio, autoespacio, eigenespacio o subespacio fundamental asociado al valor propio  es el conjunto de vectores propios con un valor propio común.

Las transformaciones lineales del espacio —como la rotación, la reflexión, el ensanchamiento, o cualquier combinación de las anteriores; en esta lista podrían incluirseotras transformaciones— pueden interpretarse mediante el efecto que producen en los vectores. Los vectores pueden visualizarse como flechas de una cierta longitud apuntando en una dirección y sentido determinados.
Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que, o no se ven afectados por la transformación o se ven multiplicados por un escalar, y por tanto no varían sudirección.1
El valor propio de un vector propio es el factor de escala por el que ha sido multiplicado.
Un espacio propio es un espacio formado por todos los vectores propios del mismo valor propio, además del vector nulo, que no es un vector propio.
La multiplicidad geométrica de un valor propio es la dimensión del espacio propio asociado.
El espectro de una transformación en espaciosvectoriales finitos es el conjunto de todos sus valores propios.
Por ejemplo, un vector propio de una rotación en tres dimensiones es un vector situado en el eje de rotación sobre el cual se realiza la rotación. El valor propio correspondiente es 1 y el espacio propio es el eje de giro. Como es un espacio de una dimensión, su multiplicidad geométrica es uno. Es el único valor propio del espectro (de estarotación) que es un número real.
Formalmente, se definen los vectores propios y valores propios de la siguiente manera: Si A: V → V es un operador lineal en un cierto espacio vectorial V, v es un vector diferente de cero en V yc es un escalar tales que

entonces decimos que v es un vector propio del operador A, y su valor propio asociado es c. Observe que si v es un vector propio con el valorpropio c entonces cualquier múltiplo diferente de cero de v es también un vector propio con el valor propio c. De hecho, todos los vectores propios con el valor propio asociado c junto con 0, forman un subespacio de V, el espacio propio para el valor propio c. Observe además que un espacio propio Z es un subespacio invariante de A, es decir dado w un vector en Z, el vector Aw también pertenece a Z.Ejemplos
Ecuación del Y características de un polinomio
Matemáticamente, vλ es un vector propio y λ el valor propio correspondiente de una transformación T si verifica la ecuación:

donde T(vλ) es el vector obtenido al aplicar la transformación T a vλ.
Supóngase que T es una transformación lineal (lo que significa que  para todos los escalares a, b, y los vectores v, w). Considérese una base enese espacio vectorial. Entonces, T y vλ pueden representarse en relación a esa base mediante una matriz AT y un vector columna vλ—un vector vertical unidimensional. La ecuación de valor propio en esta representación matricial se representa de la siguiente forma:

donde la yuxtaposición es un producto de matrices. Dado que en esta circunstancia la transformación T y su representaciónmatricial AT son equivalentes, a menudo podemos emplear sólo Tpara la representación matricial y la transformación. Esto es equivalente a un conjunto de n combinaciones lineales, donde n es el número de vectores de la base. En esta ecuación, tanto el autovalor λ y las n componentes de vλ son desconocidos. Sin embargo, a veces es poco natural o incluso imposible escribir la ecuación de autovector en forma...