Axiomas de Congruencia Unicauca

3. Axiomas de congruencia
Es posible establecer la comparación entre segmentos, ángulos y polígonos para definir conceptos más generales como longitud de segmentos, medida angular, perímetro de polígonos y áreas de figuras planas. Inicialmente plantearemos los axiomas de congruencia de segmentos y de ángulos.
Axioma C.1: Dados dos puntos A y B, contenidos en una recta l. Si A' es un punto del o de otra recta l', siempre es posible encontrar un punto B' en l o en l', de tal forma que AB sea congruente con A'B'. Se simboliza por:AB≅A'B'.
Axioma C.2: Dos segmentos congruentes con un tercero, son congruentes entre sí. Es decir, siA'B'≅AB y A''B''≅AB entonces A'B'≅A''B''.
Axioma C.3: Sean AB y BC segmentos de una recta ltal queA-B-C yA'B' yB'C' segmentos de la misma recta lo de otrarecta l', tal que A'-B'-C'. Si:AB≅A'B'.yBC≅B'C'.entonces AC≅A'C'.
3.1 Implicaciones de los axiomas de congruencia de segmentos
Para cualquier segmentoAB se satisface la congruencia,AB≅BA, pues la definición de segmento no hace diferencia en la posición o el orden de los puntos de la recta.
Teorema C.1: La congruencia de segmentos es una relación de equivalencia.
Hipótesis: Sea R la relación decongruencia entre segmentos.
Tesis: R es una relación de equivalencia.
Demostración:
Se debe probar que la relación, R, es de congruencia es reflexiva, simétrica y transitiva.
R es reflexiva:
Sea ABun segmento en una rectal y sea C un punto en l o en otra recta. Por el axioma C.1, existe un puntoD en una de las semirrectas determinadas por C en l tal que AB≅CDSi AB≅CD y AB≅CD, entonces por elaxioma C.2 se tiene queAB≅ABR es simétrica:
SeanAB≅A'B'.
Por la propiedad reflexiva se tiene queA'B'≅A'B'.
Si A'B'≅A'B' y AB≅A'B', entonces por el axioma C.2 se tiene que A'B'≅AB.
R es transitiva:
SeanAB≅CD y CD≅EF .
Si CD≅EF, entonces por la propiedad simétrica se cumple que Si EF≅CD,
Si AB≅CD y EF≅CD, entonces por el axioma C.2 AB≅EF.
3.2 Longitud de Segmentos
Las propiedades de lacongruencia de segmentos (reflexiva, simétrica y transitiva) permiten definir una característica común a todos los segmentos congruentes, denominada longitud de un segmento.
Definición C.1: Se llama longitud de un segmento ABa la propiedad común que satisfacen todos los segmentos congruentes con ABEs decir, si los segmentosAB,CD,EF, …son congruentes entre sí, entonces satisfacen la propiedad“tener la misma longitud” y recíprocamente si los segmentos AB,CD, EF,… tienen la misma longitud, son congruentes entre sí. Se establece una equivalencia entre la relación “ser congruente” y “tener la misma longitud” entre segmentos. Es decir , AB,CD, EF, son congruentes si y solo si tienen la misma longitud.
Lo anterior hace necesario establecer la siguiente definición:
Definición C.2: Dada unarectal, existe una correspondencia entre los números reales y los puntos de lde manera que:
A cada punto del le corresponde exactamente un número real.
A cada número real le corresponde exactamente un punto de l. El número asociado con un punto se llama coordenada del punto. A la recta l se le llama Recta Numérica.
Definición C.3: Si A y B son puntos de una recta l, con coordenadas x y yrespectivamente; la distancia entre A y B, simbolizada por d(A, B) o AB, se define como dAB=AB=x-y .
Nota: El valor absoluto de un número real n, se designa por n y se define como:n = n, para todo n≥0 y n =-n para todo n<0.x-y=y-x.
Definición C.4: La longitud de un segmento AB se define como la distancia entre A y B.
Definición C.5: Dados los puntos O, N, M, cualesquiera de una recta l. Elpunto N, está entre O y M si y sólo si dO,N+dN,M=dO,M.
Definición C.6: Si dos segmentos tienen la misma longitud se dice que son congruentes.
Las propiedades de la longitud de segmentos se infieren directamente de las propiedades de la congruencia de segmentos.
Por la propiedad reflexiva: AB=BAPor la propiedad simétrica: Si AB=CD, entoncesCD=AB.
Por la transitividad: Si AB=CDy CD=EF, entonces...