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TRANSFORMACIONES LINEALES
Una transformación lineal es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector. En ocasiones trabajar con vectores es muy sencillo ya que pueden ser fácilmente interpretados dentro de un contexto gráfico, lamentablemente no siempre ocurre y es necesario transformar a los vectores para poderlos trabajar más fácilmente. Por otraparte, trabajar con sistemas lineales es mucho más sencillo que con sistemas no lineales, ya que se puede utilizar una técnica llamada superposición, la cual simplifica de gran manera gran variedad de cálculos, por lo que es de gran interés demostrar que un proceso puede ser reducido a un sistema lineal, lo cual solo puede lograrse demostrando que estas operaciones forman una transformación lineal.Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y condominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:

Isomorfismo de Espacios Vectoriales
En estas notas definiremos los isomorfismos de espacios vectoriales y mostraremos que el mapeo coordenado es un isomorfismo de espacios vectoriales.
Definición de isomorfismo deespacios vectoriales. Sean V y V_ dos espacios vectoriales sobre un campo K. Una función, mapeo o transformación, T, inyectiva y sobreyectiva, y por lo tanto biyectiva, del espacio vectorial V sobre el espacio vectorial V_, es un isomorfismo de espacios vectoriales si
T : V → V_ es una transformación lineal; i.e. Si para todo _v1, _v2 ∈ V y para todo λ ∈ K la transformación

Satisface lassiguientes propiedades:
1. Aditiva
T (_v1 +_v2) = T (_v1) + T (_v2).
2. Homogénea
T (λ_v1) = λT (_v1)
En otras palabras, un isomorfismo de espacios vectoriales es simplemente una transformación lineal
biyectiva.
Definición de espacios vectoriales isomorficos. Dos espacios vectoriales V y V_ se dice que son
isom´orficos si existe un isomorfismo de espacios vectoriales T : V → V_.
Definicióndel mapeo coordenado. Sea V un espacio vectorial sobre un campo K y sea B =
{_v1, _v2, . . . ,_vn}1 una base de V y sea T : V → Kn el mapeo que asigna a cada _v ∈ V su vector
coordenado con respecto a la base B. Es decir
T (_v) = (a1, a2, . . . , an) donde _v = a1_v1 + a2_v2 + . . . + an_vn
Entonces T es el mapeo coordenado de V con respecto, o relativo, a la base B.
Teorema. Sea V un espaciovectorial sobre un campo K y sea B = {_v1, _v2, . . . ,_vn} una base de V.
Sea T : V → Kn el mapeo coordenado de V con respecto a la base B. Entonces el mapeo coordenado es
un isomorfismo de espacios vectoriales.
Prueba: En las notas de ´Algebra lineal IX: Vectores Coordenados se mostr´o que el mapeo coordenado es inyectivo y sobreyectivo y, por lo tanto, biyectivo. De manera que ´únicamentefalta probar que el mapeo coordenado es una transformación lineal. Sea V un espacio vectorial sobre un campo K y
sea B = {_v1, _v2, . . . ,_vn} una base de V. Suponga además que _w, _w_ ∈ V tal que
T ( _w) = (a1, a2, . . . , an) y T ( _w
_) = (b1, b2 . . . , bn)
1Esta suposición significa que V es finito-dimensional.
1
Este resultado significa que
_w = a1_v1 + a2_v2 + • • • + an_vn y _w
_ =b1_v1 + b2_v2 + . . . + bn_vn
Por lo tanto
T ( _w + _w
_) = T [(a1_v1 + a2_v2 + . . . + an_vn) + (b1_v1 + b2_v2 + . . . + bn_vn)]
= T [(a1 + b1)_v1 + (a2 + b2)_v2 + . . . + (an + bn)_vn]
= ((a1 + b1), (a2 + b2), . . . , (an + bn))
= (a1, a2, . . . , an) + (b1, b2, . . . , bn) = T ( _w) + T ( _w
_)
y el mapeo coordenado es aditivo.
De manera semejante, si λ ∈ K,
T (λ_w) = T [λ(a1_v1 +a2_v2 + . . . + an_vn)]
= T [(λa1)_v1 + (λa2)_v2 + . . . + (λan)_vn]
= ((λa1), (λa2), . . . , (λan)) = λ(a1, a2, . . . , an) = λT ( _w)
y el mapeo coordenado es homogéneo. Por lo tanto, el mapeo es una transformación lineal biyectiva y es por lo tanto un isomorfismo de espacios vectoriales.
Corolario. Sea V un espacio vectorial n−dimensional sobre un campo K. Entonces V y Kn son
isom´orficos,...