bachiller

Integrales de Superficie:
en superficie (reemplazar Z por su valor en la superficie)
Area (s) = ∫∫ Axy |
F|/|F´z|dx dy; Φ (flujo) = ∫∫ Axy F .
F /|F´z| dx dy
Ejemplo: s: z = √(x ² + y ²) Limites: x ² + y ² ≤ R

F (x, y, z) = √(x ² + y ²)-z
F´ x = x/ (√ (x ² + y ²))

F = (x/ (√ (x ² + y ²)), y/ (√ (x ² + y ²)), -1)
F´ y = y/ (√ (x ² + y ²))

F´ z = -1


|
F| = √2

Area Lateral= ∫∫ Axy |
F|/|F´z| dx dy =∫∫ Axy √2.dx dy =
√2 ∫∫ Axy dx dy
= √2 π R ²

Area del circulo

Teorema de Gauss (o de la divergencia):
Obs: Con este método se calcula el vector normal exterior a la superficie.
F ds = ∫∫∫ V 
.F dx dy dz

F :Divergencia
Te dan el flujo de una determinada función F (x, y, z). Delimitan una superficie con planos o superficies y piden calcular el flujo através de la superficie frontera.
Divergencia: ∂F1/∂x + ∂F2/∂y + ∂F3/∂z (derivadas de las componentes de la función del flujo)
Obs: Si me queda el flujo neto negativo, significa que tiene sentido opuesto al normal exterior.
Puntos: Fuente: origina campo (campo positivo). Sumidero: recibe campo. Pasante: Lo que entra = lo que sale.
Teorema de Stocks (o del rotor):  F dl = ∫∫ S 
x F.ds
Obs: larelación entre la orientación de la curva y de la superficie esta dada por la regla de la mano derecha.
En practica: Te piden calcular la circulación de una F (x, y, z) a lo largo de una curva.

xF =
i
j
k

∂/∂x
∂/∂y
∂/∂z

F1
F2
F3
(F1, F2, F3) Componentes del campo que circula
Componente i = ∂/∂y F3 - ∂/∂z F2 (derivada respecto de y de F3 menos la derivada respecto de z de F2)
F dl= ∫∫ Axy 
x F
F / |F´z| El gradiente del plano en el que encuentro la figura
El gradiente me define un sentido de recorrido con la regla de la mano derecha. Cuando recorro la figura debo respetar este sentido (es distinto que )
Teorema de Green (Teorema de Stokes aplicado al plano xy):
 F dl = ∫∫ S (∂f2/∂x -∂F1/∂y) dx dy
Obs: El sentido de circulación corresponde a recorrer la curva demanera tal que la región S queda a la izquierda (en general sentido antihorario).
Obs: verificar que el campo F y sus derivadas están definidos en toda la región S.
Aplicación al calculo de áreas:  F dl = ∫∫ S (∂f2/∂x -∂F1/∂y) dx dy. Si (∂f2/∂x - ∂F1/∂y) es una constante K:
 F dl = ∫∫ SK dx dy con K ≠ 0 = K Area (S)⇒Area (S) = 1/K  F dl, con (∂f2/∂x - ∂F1/∂y) = K ≠ 0
Caso particular: F (x, y) =(0, x) ⇒ ∂f2/∂x - ∂F1/∂y = 1 Luego: Area (S) =  (0, x) dl
Ejemplo: Calculo del Area de la elipse:

x ²/a ² + y ²/b ² = 1 G (θ) = (a cos (θ),b sen (θ))
Area (S) =  (0, x) dl ⇒  (0, a cos (θ)) . (a (-sen (θ)), b cos (θ)) d θ =  a b cos ² (θ) d θ =
= a b (θ /2 + sen (2 θ)/4)|02.π (por tabla) = a b (π + 0) = a b π
Campos Conservativos:
∃ φ/ F (x) =
φ (x)
Condición necesaria: Derivadascruzadas iguales.
Búsqueda de φ :
F = (f1, f2) = (φ ´x, φ ´ y)
Luego, se construye con los términos comunes colocados 1 sola vez mas los términos no comunes mas una constante pura
φ = ∫ φ ´x dx = ∫ f1 dx = f1 (x, y) + k (y)

φ = ∫ φ ´y dy = ∫ f2 dy = f2 (x, y) + δ (x)




Cambio de variables en integrales triples
Al igual que los cambios de variables en integrales dobles encontramos cambiosde variables que nos son convenientes en integrales triples. El principio es el mismo ya que del plano xyz pasaremos al plano uvw. Para esto ahora el Jacobiano será la determinante de una matrix de 3x3.


Entonces deducimos que cuando queremos hacer un cambio de variables en integrales triples hacemos lo siguiente

Ejemplo #05
Encuentre la transformada para integrales triples en coordenadasesféricas
En este caso el cambio de variables está dado por las ecuaciones ,  y 
Si computamos el Jacobiano obtenemos lo siguiente
  
Si hacemos variar  entonces sabemos que , por lo que podemos decir 
Para hacer el cambio de variables entonces utilizaremos lo siguiente



Transformaciones jacobiano
En el cálculo de una dimensión, es frecuente que usemos un cambio de variables (o una...