Bachiller

Republica Bolivariana de Venezuela
Universidad de Carabobo
Cátedra: Algebra
Sección: 08














Trabajo 01



















Hecho por:
Lugo, Andreina
CI: 21477534

Malave, Daniel
CI: 24289644

Valencia, 06 de Marzo de 2012
• Demostrar la Desigualdad de Cauchy-Schwarz

En matemáticas, la desigualdad de Cauchy-Schwarz es una desigualdadmuy útil encontrada en diferentes áreas, tales como el álgebra lineal aplicada a vectores, en análisis matemático aplicada a series infinitas e integración de productos de funciones, y en teoría de probabilidades, aplicada a varianzas y 
co-varianzas.

La desigualdad establece que para todo par de vectores “x” e “y” de un espacio vectorial real o complejo dotado de un producto escalar [pic] .[pic]


Equivalentemente, tomando la raíz cuadrada en ambos lados, y refiriéndose a la norma de los vectores, la desigualdad se escribe como:



[pic]


Adicionalmente, los dos lados son iguales si y sólo si “x” e “y” son linealmente dependientes (geométricamente, si son paralelos o uno de los vectores es igual a cero).



La desigualdad de Cauchy-Schwarz se usapara probar que el producto escalar es una función continua con respecto a la topología inducida por el mismo producto escalar, a su vez se usa para probar la desigualdad de Bessel.



Demostración:

Si consideramos a los dos vectores “x” e “y” Є E y un escalar t Є R entonces como el producto interno. Esta definido positivo, tenemos que (x-ty).(x-ty)≥0. Expandiendo por las propiedadesdistributivas y asociativas se tiene

(y.y)t2 – 2(x.y)t+(x.x)≥0.

Ahora bien, la función cuadrática (y.y)t2 – 2(x.y)t+(x.x) de t tiene como grafica una parábola que no corta el eje x en 2 puntos distintos, es decir, la parábola no tiene 2 raíces reales y distintas, así, usando la ecuación cuadrática, el discriminante debe ser menor o igual a cero, esto es,

[-2(x.y)]2-4(y.y)(x.x) ≤0

De laultima ecuación inmediatamente se obtiene

(x.y)2≤(y.y)(x.x)=llyll2llxll2,

Y, tomando las raíces cuadradas positivas (para conservar el signo de la desigualdad) resulta demostrado el teorema



• Demostrar la Desigualdad Triangular

La Desigualdad Triangular es un teorema que establece que en todo triángulo la suma de las longitudes de dos lados cualquiera es siempre mayor a la longituddel lado restante.
Este resultado ha sido generalizado a otros contextos como espacios vectoriales. Definido matemáticamente, cualquier triángulo cumple la siguiente propiedad:



[pic]


Donde a b y c son los lados.


Sea E un espacio vectorial euclidiano, entonces para todo par de vectores x, y Є E se tiene que:


[pic]

Demostración:

ll a+b ll2 = (a+b).(a+b)=a.a+2(a.b)+b.b ≤ a.a + 2llall llbll + b.b

ll a+bll2 ≤ llall2 + 2llall.llbll + llbll2

ll a+bll2 ≤ (llall + llbll)2.

Luego, lla+bll ≤ llall + llbll por ser ambas raíces cuadradas positivas.

• Método de los Mínimos Cuadrados

Consideremos el sistema de ecuaciones lineales AX=(b) donde a pertenece a Mmxn y (b) Є Rm . si suponemos que el sistema es inconsistente, esto es, (b) no perteneceal espacio Columba de A, (b) ∉ C (A). evitar la inconsistencia, no es posible, pero podemos elegir un X que se aproxime a la solución minimizando el promedio de error en las m ecuaciones.
El método consiste, pues, en elegir un X que minimice el error E2=llAX-(b)ll2 . E2, recibe el nombre de desviación cuadrática.
Este valor X debe ser tal que AX Є C(A) y como queremos minimizar E2, el vectorde C(A) que mas se acerca a (b) es la proyección ortogonal de (b) sobre C(A), por lo tanto el X que buscamos es aquel tal que p=AX es la proyección ortogonal de (b) sobre C(A). Entonces, AX-(b) es ortogonal al espacio columna de A, esto es, AX-(b) Є C(A). como todos los elementos de C(A) son de la forma AY ¥ Y Є Rn, entonces

AY.[AX-(b)]= 0 para todo Y Є Rn

Como quiera en Rm X.Y=Xt.Y,...