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CONCEPTO DE CONTINUIDAD Y TEOREMAS
En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñasvariaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discreta. Una función continua de  en  es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápizdel papel (más formalmente su grafo es un conjunto conexo).
La continuidad de funciones es uno de los conceptos principales de la topología. El artículo describe principalmentela continuidad de funciones reales de una variable real.

Teoremas sobre funciones continuas:
Estos son algunos de los teoremas más importantes sobre funciones continuas.El Teorema de Weierstrass es un teorema de análisis real que establece que una función continua en un intervalo cerrado y acotado (de números reales) alcanza sus valores máximo ymínimo en puntos del intervalo. También se puede enunciar en términos de conjuntos compactos. El teorema establece que una función continua transforma intervalos conexos en intervaloscompactos, entendiéndose por intervalo compacto aquel que es cerrado (sus puntos frontera le pertenecen) y acotado.
Enunciado.
Si una función f es continua en un intervalocompacto (cerrado y acotado)  entonces hay al menos dos puntos x1,x2 pertenecientes a [a,b] donde f alcanza valores extremos absolutos, es decir , para cualquier .

Demostración.Como  está acotada al ser [a,b] un compacto y f una función continua aplicada sobre un compacto, podemos asegurar que existe un supremo finito llamado M. Es necesario encontrar unpunto d en [a,b] que satisfaga M = f(d). Digamos que n es un número natural. Como M es supremo, M – 1/n no lo es para f. Entonces, existe un punto dn en [a,b] tal que M – 1/n