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Bases y dimensión en espacios vectoriales

Los conceptos de dependencia lineal, independencia lineal, bases y dimisión son tan importantes para espacios vectoriales arbitrarios como lo fueron para el espacio . En esta sección se investigan y desarrollan estos conceptos en un marco más general. Se comenzara con la definición de independencia lineal.

Definición 1 Un conjunto de vectoresde un espacio vectorial V es linealmente independiente si la ecuación vectorial

Tiene precisamente la solución única .

Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si no es linealmente independiente. Como en , es fácil probar que un conjunto es linealmente dependiente si y sólo si uno de los vectores del conjunto se puede expresar como una combinación lineal de los elementosrestantes.
Ejemplo 1 Las matrices

De son linealmente independientes
Solución. Supóngase que
Entonces

Obteniendo


De lo cual obtenemos el siguiente sistema homogéneo de ecuaciones






Obviamente hay solo una solución . De este sistema de ecuaciones. Por lo tanto Es un conjunto linealmente independiente de matrices.
Claramente el conjunto de polinomios { } es linealmenteindependiente en el espacio vectorial . Porque si , entonces .
Ejemplo 2 Determine si los polinomios son linealmente dependientes o independientes en el espacio vectorial .
Solución. Considérese la ecuación

Esta ecuación se reduce a

La única manera de que este polinomio pueda se igual al polinomio cero es que todos los coeficientes y el termino constante sean iguales a 0. Esto da lugar alsiguiente sistema homogéneo.
= 0
= 0
= 0
La única solución de este sistema es . Por lo tanto los polinomios son linealmente independientes.
Al igual que en es deseable poder expresar cualquier vector perteneciente a un espacio vectorial de una manera única como una combinación lineal de un conjunto fijo de vectores. El concepto de independencia lineal capta precisamente la idea derepresentatividad única.
Teorema 1
Un conjunto S = de vectores pertenecientes a un espacio vectorial V es linealmente independiente si y sólo si para todo vector u, la representación
u = es única.
Demostración:
Debemos demostrar que
a) S = es Linealmente Independiente u = es única.
b) u = es única S = es Linealmente Independiente



Demostración:
a)
Sea S linealmente independientesupóngase que
u = =
- () =
= = 0
Puesto que son LI
= 0
Luego
u = es única

b) Su poner que cualquier vector u se puede expresar como una combinación lineal de esta representación es única.
Expresar 0 como una combinación lineal de
= 0
En virtud de la hipótesis esta representación es única puesto que
= 0 , entonces es la solución única por consiguiente S es LinealmenteIndependiente.
El teorema establece que si un vector u puede expresarse como una combinación lineal de vectores linealmente independientes entonces, tal representación es única.
Puede ser cierto, sin embargo, que u no pueda expresarse como una combinación lineal de estos vectores.
Uno de los conceptos esencial es el de base de un espacio vectorial.




Esta decisión no es útil para decidir siun conjunto es, en efecto una base de un espacio vectorial. Para este propósito se requiere del Teorema 2.

Teorema 2
Un subconjunto S de un espacio vectorial V es una base de V si y solo si S es un conjunto linealmente independiente que genera el espacio V.
Debemos demostrar que:
a) S es base de V S es Linealmente Independiente que genera a V
b) S es Linealmente Independiente que generaa V S es base de V
Demostración:
a)
Sea V un espacio vectorial y S un subconjunto de V. Por definición, S genera a V si y solo si todo elemento de V puede escribirse como una combinación lineal de los elementos de S

b) Por el Teorema 1, un conjunto es linealmente independiente en V si y solo si es única la representación de cualquier elemento en V como combinación lineal de...