balotario

 Balotario de 3 año


Nombre: Anthony Farfan

Grado: 3 año de secundaria



Balotario del mes de
Febrero



Matematica

Definición de números reales: aproximación y redondeoAproximación: Aproximar un número a ciertas cifras decimales consiste en encontrar un número con las cifras pedidas que esté muy próximo al número dado. 
Por ejemplo, dado el número 1.3456 vamos a aproximarlo con dos cifras decimales:
a) por defecto es 1.34
b) por exceso es 1.35

Redondeo: Redondear un número consiste en dar la mejor de las aproximaciones, es decir, aquella con la que secomente un error menor
Por ejemplo, en nuestro caso si redondeamos 1.3456 a dos cifras decimales, el redondeo será 1.35.

Operaciones combinadas:
Llamaremos operaciones combinadas a aquellas en las cuales aparezcan varias operaciones aritméticas para resolver


Valor absoluto de números reales:
Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o trozos) yse pueden resolver o calcular
Ejemplo:
a) (3) = 3, porque 3 > O
b) (-3 )= - (-3) = 3, porque -3 < O tomamos su inverso
c) Si ( x ) = 3 entonces x = 3 óx= -3
e) (x-1)=5 por lo tanto x-1=5 ó x-1= -5
x-1 =5 por lo tanto x=6
x-1=-5 por lo tanto x=-4
propiedades del valor absoluto
Enunciaremos a continuación algunas propiedades del valor absoluto, las cuales podrán ser utilizadas parafacilitar el trabajo en la resolución de ecuaciones o inecuaciones que incluyen valor absoluto.
Propiedad 1


Demostración



Hay dos posibles casos:
Caso 1: 



Caso 2: 


Propiedad 2
Si 
Demostración:(ejercicio para el estudiante)

Propiedad 3
Si 

Demostración

Para demostrar esta propiedad conviene recordar que:

en particular:

Usando esta definición se tiene que:Propiedad 4


Demostración:(ejercicio para el estudiante)
Propiedad 5
Si  entonces 

Demostración
Aquí también usaremos el hecho de que:

Si 
  

Propiedad 6


Demostración

, se tiene que:





Propiedad 7
Sea  una variable real y  un número real positivo:


Interpretación geométrica de esta propiedad
 

 
Demostración

Como
                       
  
 
 
 




 
 
 
 




 
 
 
 




 
 
 
 




 
 
 
 




 
 
 
 








Propiedad 8
Sea  una variable real y  un número real positivo entonces:
 
Demostración

Como , se tiene:
 



 
 
 
 




 
 
 
 




 
 
 
 




 
 
 
 




 
 
 
 





 
Resolviendo esta inecuación:

De aquí setiene:



Interpretación geométrica de esta propiedad:


Propiedad 9

Sea  una variable real y  un número real positivo entonces:

Demostración
Esta propiedad se demuestra en forma similar a la propiedad 8, ya demostrada, dejaremos esta demostración como ejercicio para el estudiante.
Interpretación geométrica de esta propiedad:


Propiedad 10

Sea  una variable real y  un número realpositivo entonces:
i.

 
 
ii.

Demostración

Un procedimiento usado para demostrar esta propiedad es similar al usado para demostrar la propiedad 8.
Dejaremos esta demostración como ejercicio para el estudiante.
Interpretación geométrica de esta propiedad:
i. 

ii. 


Propiedad 11



Demostración

Sabemos que 
CASO 1:      

              (*)

Además como   entonces  ycomo  entonces:  (**)
Así por (*) y (**) se tiene que:

  (I)
 
CASO 2:      
 





 
 
 
 
 
 
 
 




 
 
 
 
 
 
 
 





 
Además como  entonces
 (****)
Así por (***) y (****) se tiene que:

(II)

Por lo tanto de (I) y (II) se concluye que:


Propiedad 12 (desigualdad triangular)

Si 
Demostración

Antes de demostrar esta propiedad, es...