Base

BASE ORTOGONAL
Definición:
* Un conjunto de vectores no nulos, de un espacio vectorial V, se llama ortogonal si son dos a dos. Es decir todos sus vectores son ortogonales.
* Una baseortogonal es una base formada por un conjunto ortogonal.
* Sea el conjunto T subconjunto de R2. T ═{(-1,2) , ( 2,1)}═{i,j} es base ortogonal de R2.

Los vectores que forman una base ortogonal sonperpendiculares entre sí.
Cualquier vector del plano se puede poner como combinación lineal de los vectores que forman la base.
* Nota:
El concepto de base ortogonal se aplica solo a los Espaciosde Hilbert.
Dos vectores a y b son ortogonales, (a ⊥ b ) si se verifica la siguiente relación:
‖‖ a + b ‖‖ ═ ‖‖ a - b ‖‖
Así por ejemplo , los vectores a ═ ( a,0 ) y b ═ ( b,0 ) sonortogonales , en efecto :
‖‖ a + b ‖‖ ═ ‖‖ ( a,0) + ( 0,b) ‖‖ ═ ‖‖ ( a ,b) ‖‖ ═ a2+b2
‖‖ a- b ‖‖ ═ ‖‖ ( a,0) - ( 0,b) ‖‖ ═ ‖‖ ( a -,b) ‖‖ ═ a2+(-b)2 ═ a2+b2
Comparando ( 1 ) y ( 2) se tiene : ‖‖ a + b‖‖ ═ ‖‖ a- b ‖‖
Si los vectores a y b son ortogonales, entonces denotaremos por ((a ┴ b ), es decir :
a ⊥ b ↔ ‖‖ a + b ‖‖ ═ ‖‖ a- b ‖‖


Los vectores a y b son ortogonales si ysolo si a.b ═ 0
DEMOSTRACION:
i) Si a ⊥ b → a.b ═ 0 ( por demostrar )

por hipótesis se tiene que a y b son ortogonales , entonces ‖‖ a + b ‖‖ ═ ‖‖ a- b ‖‖
(pordefinición de ortogonalidad )
Luego ‖‖ a + b ‖‖2 ═ ‖‖ a- b ‖‖2 , desarrollando los cuadrados se obtiene :
‖‖ a ‖‖2 + 2a.b + ‖‖ b ‖‖2 ═ ‖‖ a ‖‖2 - 2a.b + ‖‖ b ‖‖2 de donde 4. a.b═ 0 → a.b ═ 0
ii) Si a.b ═ 0 → a ┴ b ( por demostrar )
como a.b ═ 0 → 4. a.b ═ ‖‖ a + b ‖‖2 - ‖‖ a- b ‖‖2 , de donde :
‖‖ a + b ‖‖2 ═ ‖‖ a- b ‖‖2 → ‖‖ a + b‖‖2 ═ ‖‖ a- b ‖‖2 , esta relación nos indica que los vectores a y b son ortogonales ( por definición de ortogonalidad )

EJEMPLOS :
Determinar cual de los pares de vectores dados son...