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ARITMETICA MODULAR
Aritmética modular

En matemática, la aritmética modular es un sistema aritmético para clases de equivalencia de números enteros llamadas clases de congruencia. La aritmética modular fue introducida en 1801 por Carl Friedrich Gauss en su libro DisquisitionesPlease use at least 3 characters
Arithmeticae.1
Algunas veces se le llama, sugerentemente, aritmética del reloj, yaque los números «dan la vuelta» tras alcanzar cierto valor llamado módulo.
Relación de congruencia

El tiempo llevado por este reloj usa aritmética en módulo 12.
La aritmética modular puede ser construida matemáticamente mediante la relación de congruencia entre enteros, que es compatible con las operaciones en el anillo de enteros: suma, resta, y multiplicación. Para undeterminado módulo n, ésta se define de la siguiente manera:3
a y b se encuentran en la misma "clase de congruencia" módulon, si ambos dejan el mismo resto si los dividimos entre n, o, equivalentemente, si a − b es un múltiplo de n.
Esta relación se puede expresar cómodamente utilizando la notación de Gauss:3

Así se tiene por ejemplo

ya que ambos, 63 y 83 dejan el mismo resto (3) al dividir entre 10, o,equivalentemente, 63 − 83 es un múltiplo de 10. Se lee:3
«63 es congruente con 83, módulo 10», o «63 y 83 son congruentes uno con otro, módulo 10».
«Módulo» a veces se abrevia con la palabra «mod» al hablar, de la misma manera que como está escrito y proviene de la palabra modulus del latín, la lengua de los escritos originales de Gauss. Así, el número n, que en este ejemplo es 10, sería el modulus.Otro ejemplo; cuando el módulo es 12, entonces cualesquiera dos números que divididos entre doce den el mismo resto son equivalentes (o "congruentes") uno con otro. Los números
..., −34, −22, −10, 2, 14, 26,...
son todos "congruentes módulo 12" unos con otros, ya que cada uno deja el mismo resto (2) cuando los dividimos entre 12. La colección de todos esos números es una clase de congruencia.4Propiedades principales[editar]
Clases de equivalencia módulo n[editar]
La aritmética modular se basa en una relación de equivalencia, y las clases de equivalencia de un entero a se denota con [a]n (o simplemente [a] si sobreentendemos el módulo.) Otras notaciones son por ejemplo a + nZ o a mod n. El conjunto de todas las clases de equivalencia se denota con Z/nZ = { [0]n, [1]n, [2]n,...,[n-1]n }.5
Esta relación de equivalencia tiene importantes propiedades que se siguen inmediatamente de la definición:5
Si

y

entonces

y


Lo que muestra que la suma y la multiplicación son operaciones bien definidas sobre el conjunto de las clases de equivalencia. En otras palabras, la suma y la multiplicación están definidas sobre Z/nZ mediante las fórmulas siguientes:5


De estemodo, Z/nZ se convierte en un anillo con n elementos. Por ejemplo, en el anillo Z/12Z, se tiene :[8]12[3]12 + [6]12 = [30]12 = [6]12.
El conjunto de enteros en Z/pZ forma un cuerpo finito si y sólo si p es primo.6
Resolución de congruencias[editar]
Si a y b son enteros, la congruencia: ax ≡ b (mod n) tiene solución x si y sólo si el máximo común divisor (a, n) divide a b. Los detalles están recogidos enel teorema de congruencia lineal. Sistemas de congruencias más complicados con módulos diferentes se pueden resolver usando el teorema chino del resto o el método de sustitución sucesiva.7
En el anillo de enteros, si consideramos la ecuación ax ≡ 1 (mod n), vemos que a tiene un inverso multiplicativo si y sólo sia y n son coprimos. Por tanto, Z/nZ es un cuerpo si y sólo si n es un primo.8 Sepuede probar que cada cuerpo finito es una extensión de Z/pZ para algún primo p.
Pequeño teorema de Fermat y teorema de Euler[editar]
Artículos principales: Pequeño teorema de Fermat y Teorema de Euler.
Un hecho importante sobre aritmética modular, cuando los módulos son números primos es el pequeño teorema de Fermat: si p es un número primo, entonces:9
Si a es cualquier entero:

Si a es...