Bernoulli_inequality

Desigualdad de Bernoulli
Objetivos. Demostrar la desigualdad de Bernoulli y conocer algunas de sus aplicaciones.
Requisitos. Demostraciones por inducci´on, propiedades dedesigualdades.

Preliminares
1. Multiplicaci´
on de una desigualdad por un n´
umero positivo. Sean a, b, c ∈ R, a ≤ b,
c > 0. Compare ac con bc:
ac
bc.
2. Definici´
on recursiva de laspotencias de un n´
umero.
x0 =

xn+1 =

,

.

3. Propiedad transitiva del orden. Sean a, b, c ∈ R, a ≤ b, b ≤ c. Compare a con c:
a

c.

Desigualdad de Bernoulli y su demostraci´
on
4. Seaa ∈ R, x > −1. Entonces para todo n ∈ N,
(1 + a)n ≥ 1 + na.
Demostraci´on. Para n = 1 la desigualdad toma la siguiente forma:

Sea n ∈ N arbitrario. Supongamos que la desigualdad esv´alida para n y la demostremos para
n + 1:
(1 + a)n+1 =
≤

≤ 1 + (n + 1)a.
Desigualdad de Bernoulli, p´agina 1 de 3

Aplicaciones de la desigualdad de Bernoulli
Ejemplo. Demostrarque existe un C > 0 tal que para todo n ∈ N
3n ≥ Cn.
Soluci´on. Escribimos 3n como (1 + 2)n y aplicamos la desigualdad de Bernoulli:
(1 + 2)n ≥ 1 + 2n ≥ 2n.
La desigualdad requeridase cumple para todo n ∈ N con C = 2.
5. Demuestre que existe un C > 0 tal que para todo n ∈ N
1.5n ≥ Cn.

Ejemplo. Demostrar que existe un C > 0 tal que para todo n ∈ N
3n ≥ Cn5 .Soluci´on. Primero escribimos 3 como
3=

√
5

5

3

= (1 + a)5 ,

√
√
donde b = 5 3 − 1. Como 3 > 1, tenemos que 5 3 > 1 y a > 0. Ahora aplicamos la desigualdad
de Bernoulli:
n
5
5
3n= (1 + b)5 = ((1 + b)n )5 ≥ 1 + nb > nb = b5 n5 .
√
5
La desigualdad requerida est´a probada para todo n ∈ N con C = b5 = 5 3 − 1 .

Desigualdad de Bernoulli, p´agina 2 de 3

6.Encuentre un C > 0 tal que para todo n ∈ N,
2n ≥ Cn3 .

7. Sea a > 1 y sea p > 0. Encuentre un C > 0 tal que para todo n ∈ N,
an ≥ Cnp .

Desigualdad de Bernoulli, p´agina 3 de 3