bioestadistica

Análisis de Datos I

Esquema del Tema 21

Tema 21: Distribución muestral de un
estadístico

1. INTRODUCCIÓN

2. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA

3. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA PROPORCIÓN

__________________
Bibliografía*: Tema 15 (pág. 341-348)
Ejercicios recomendados: 1, 2 y 5.
Tema 16 (recoger en reprografía o bajar de la página)
Ejercicios recomendados: 2, 3, 4, 6 y 7.
*Véase también el tema 1 del libro Análisis de Datos en Psicología II
de Pardo y San Martín (1999; pág. 58-77)

Carmen Ximénez

1

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Esquema del Tema 21

1. INTRODUCCIÓN
La estadística inferencial trata sobre las inferencias con respecto a poblaciones (sus
parámetros, µ y σ2) a partir de la información contenida en las muestras (los estadísticos,
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X y S ).
Parapoder llevar a cabo esas inferencias es necesario conocer la relación que se establece
entre estadísticos y parámetros. El concepto que permite poner en relación ambas cosas es
“La distribución muestral de un estadístico”.
Ejemplo: Tenemos una población con los siguientes N = 3 elementos: X = {1, 2 y 3}.
Donde µ = 2 σ2 = 0,67.
Se extraen muestras de n = 2 elementos:
Con reposición, tenemos9 posibles muestras:
(1, 1); (1, 2); (1, 3); (2, 1); (2, 2); (2, 3); (3, 1); (3, 2); y (3, 3).
Sin reposición, tenemos 6 posibles muestras:
(1, 2); (1, 3); (2, 1); (2, 3); (3, 1); y (3, 2).
En cada una de las muestras pueden calcularse los correspondientes estadísticos descriptivos:
Por ejemplo, con reposición:
Las medias serían:

1; 1,5; 2; 1,5; 2; 2,5; 2; 2,5; y 3, respectivamente.Las varianzas serían: 0; 0,25; 1; 0,25; 0; 0,25; 1; 0,25; y 0, respectivamente.
Por tanto, los estadísticos descriptivos son variables aleatorias que pueden adoptar
diferentes valores y que tienen su propia distribución de probabilidad.
En el ejemplo vemos que X puede tomar 5 posibles valores y que la probabilidad que
corresponde a cada uno de ellos (f ( X i), su distribución) es:
f

Xi
( Xi)

1
1/ 9

1,5
2/ 9

2
3/ 9

2,5
2/ 9

3
1/ 9

Total:
1

Donde E( X ) = Σ Xi · f ( Xi ) = (1)(1/ 9) + (1,5)(2/ 9) + … + (3)(1/ 9) = 2

σ 2 ( X ) = Σ [ Xi 2 · f ( Xi )] – [ E( X )] 2 = [(12)(1/ 9) + … + (32)(1/ 9)] - 22 = 0,33
No es necesario construir la distribución de un estadístico (p.e. de X ) en todos los casos ya
que cada estadístico tiene su propia distribuciónmuestral conocida.
En este tema nos ocuparemos de la distribución muestral de la media: X y de la proporción: P.
Carmen Ximénez

2

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Esquema del Tema 21

2. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA
I. Si la variable de partida es normal: X → N (µ, σ)
1. Valor esperado: E( X ) = µ
2
2. Varianza: σ ( X ) =

σ2
n

3. Modelo de distribución: X → N (µ ,

σ
n

).Para obtener valores en tablas hay que convertir las puntuaciones X i en típicas. Es decir:

z =

Xi − µ

σ /

→ N (0,1)

n

EJEMPLO (resuelto)
El CI de los alumnos de un centro especial de se distribuye normalmente con media 80 y
desviación típica 10. Si extraemos una muestra aleatoria simple de 25 alumnos:
a) Si se extrae un sujeto al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que obtengacomo mínimo
una puntuación en CI de 75?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que su media aritmética sea mayor de 75?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que su media aritmética sea como máximo 83?
d) ¿Qué valor debería tomar la media aritmética para que la probabilidad de obtenerlo en
esa muestra sea como máximo 0,85?

X → N(80,10)
X → N(80, 2)
a) P (X ≥ 75) = P (z ≥

X −µ

b) P ( X ≥ 75) = P (z ≥c) P ( X ≤ 83) = P (z ≤

d)

σ

) = P (z ≥

X−µ

σ/ n
X−µ

σ/ n

75 - 80
) = P (z ≥ -0,50) = 0,6915
10

) = P (z ≥

75 - 80
) = P (z ≥ -2,50) = 0,9938
10/5

) = P (z ≤

83 - 80
) = P (z ≤ 1,50) = 0,9332
10/5

P ( X ≤ X i) = 0,85 …. z 0,85 = 1,04 …. 1,04 =

Carmen Ximénez

X i − 80
10/5

→

X i = 82,08
3

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