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Definiciones
Definiciones . Sean P y P´ dos puntos inversos cualesquiera con respecto a una circunferencia dada de centro O. La línea que pasa por P´ y que es perpendicular a PP´ es la línea polar de P o simplemente la polar de P con respecto a la circunferencia.
También el punto P es llamado el polo de la línea P.
Es evidente que la polar de un punto interseca la circunferencia, es tangente ala circunferencia en el punto, o no interseca a la circunferencia, de acuerdo con que el punto esté fuera, en, o dentro de la circunferencia.
Cuando P está fuera de la circunferencia, se pueden dibujar dos tangentes de él a las circunferencia. Si A y B son los puntos de contacto de estas tangentes, las línea AB es la cuerda de contacto del punto P. Es fácil demostrar que la cuerda de contacto deun punto exterior es la polar de ese punto con respecto a la circunferencia.
La polar del centro de la circunferencia se define como la línea al infinito, y el polo de un diámetro es un punto al infinito. Con respecto a una circunferencia dada, la relación polo y polar, establecen una correspondencia biunívoca entre todos los puntos y todas las líneas del plano.
19.2 Teorema fundamental .Teorema: Si con respecto a una circunferencia dada, la polar de P pasa por Q, entonces la polar de Q pasa por P.
Por hipótesis , la perpendicular a OP en P´, el inverso de P, pasa por Q. Si ahora Q´ es el inverso de Q, las líneas PQ´ y P´Q, son anti paralelas con respecto a OP y OQ, y entonces PQ´ es perpendicular a OQ; es decir , la polar de Q pasa por P.
Tenemos también el
Corolario: Si p y q sonlíneas tales que, con respecto a una circunferencia dada, el polo de p está en q, entonces el polo de q está en p.
Se concluye que las polares son una hilera de líneas de un haz y que los polos de las líneas de un haz son los puntos de una hilera.
Dos puntos que tienen la propiedad de que la polar de uno pasa por el otro, son puntos conjugados; y dos líneas , que sean de modo que el polo decada una este en la otra. Son líneas conjugadas . Cada punto de una línea dada, tiene un punto conjugado en tal línea, a saber. El punto en el cual la línea es cortada por la polar del punto. Asimismo, cada línea por un punto dado, tiene una línea conjugada por ese punto.
Lo siguiente es obvio:
(a) De dos puntos conjugados distintos en una línea que corte la circunferencia, uno está dentro y elotro está fuera de la circunferencia.
(b) De dos líneas distintas conjugadas que se corten fuera de la circunferencia, una corta la circunferencia y la otra no.
(c) Cualquier punto en la circunferencia es conjugado de todos los puntos de la tangente en ese punto.
(d) Cualquier tangente a la circunferencia es conjugada a todas las líneas por su punto de contacto.
19.3 Relaciones armónicas. Lateoría de polos y polares, esta íntimamente relacionada con la teoría de división armónica . Alguna de esas relaciones se indican en los teoremas que siguen.
Teorema: Si, con respecto a una circunferencia dada, dos puntos conjugados están en una línea que interseca la circunferencia, están separados armónicamente por los puntos de intersección.

Sean A y B dos de tales puntos (Fig.69) y sea A´ elinverso de A. Entonces A´B es la polar de A. Puesto que la circunferencia con AB como diámetro, pasa por A´, es ortogonal a la circunferencia dada y A y B están armónicamente separados por los puntos en los cuales su línea interseca la circunferencia.
Hemos visto entonces, que si una línea variable por un punto dado, interseca una circunferencia, los conjugados armónicos del punto con respecto alas intersecciones de la línea y la circunferencia, están todos en la polar del punto.
Teorema: Si, con respecto a una circunferencia dada, dos líneas conjugadas se corten fuera de dicha circunferencia, están separadas armónicamente por las tangentes desde su punto de intersección.
Sean a y b líneas conjugadas que se intersecan en S, un punto fuera de la circunferencia, y sean las tangentes p y...