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´ ´ Algebra (Electronica Industrial E.U.I.T.I) Curso 2008-09 ´ n del examen final celebrado el 27 de enero de 2009 Resolucio

NOTA Las respuestas que se ofrecen son en general redundantes. Se trata de mostrar la diversidad de posibles respuestas, enfoques o soluciones, a las preguntas y problemas planteados en el examen. Tambi´n se intenta reflejar la amplia capacidad t´cnica e imaginativa delestudiante. e e 1. (a) Conceptos de base y dimensi´n de un (sub)espacio vectorial. o Respuesta: Sea E un espacio vectorial y B = {V1 , · · · , Vn } un conjunto de n vectores de E. Decimos que B es una base de E si y s´lo si B es un conjunto generador de E que o adem´s es linealmente independiente. a Tambi´n podemos decir que B es una base si todo V ∈ E puede escribirse de manera unica e ´ como unacombinaci´n lineal de vectores de B. o Una base cumple condiciones extremales que tambi´n le caracterizan, es decir, tambi´n e e sirven para establecer el concepto. Una base es un conjunto generador minimal, pues si se le extrae un vector deja de ser generador del espacio. Tambi´n tiene lugar lo siguiente: e una base es un conjunto linealmente independiente maximal, en el sentido de que si se leagrega un nuevo vector entonces deja de ser linealmente independiente. Los llamados espacios de dimensi´n finita son aquellos que poseen una base con una cantidad o finita de vectores. Todas las bases de un mismo espacio de dimensi´n finita tienen la misma o cantidad de vectores. A ese n´mero com´n se le llama dimensi´n. u u o (b) Sean E1 = N ul(A) y E2 = N ul(B), donde A =

1
3

2 6

−2 −6‹

yB=

1
1

2 3

−1 4

‹

i. Hallar una base para cada uno de los subespacios (de R3 ) E1 y E2 , y calcular las respectivas dimensiones. Respuesta: Sabemos que N ul(A) = {X; AX = 0R3 }, es decir, N ul(A) es el espacio soluci´n del sistema lineal homog´neo cuya matriz de coeficientes es A. Para hallar o e bases y dimensi´n debemos transformar por fila a dicha matriz, hasta convertirlaen o una matriz escalonada. Tenemos que A=

1
3

2 6

−2 −6

‹ 1
∼ 0

2 0

−2 0

‹

, B=

1
1

2 3

−1 4

‹ 1
∼ 0

2 1

−1 5

‹

de modo que E1 tiene dimensi´n dos (dos variables libres), y E2 dimensi´n uno (una o o variable libre). Se ve que en estos casos podemos conocer la dimensi´n antes de tener una base. Para o hallar esta ultima debemos dar valoresconvenientes a las variables libres, y calcular ´ los correspondientes valores de las variables b´sicas.(1 a
1 Hablamos

de variables libres y b´sicas porque hacemos referencia a un sistema lineal. a

Universidad de Vigo. Departamento de Matem´tica Aplicada I a

2

Supongamos que x, y y z son las tres variables de los sistemas AX = 0R3 y BX = 0R3 , es decir, X = (x, y, z)T . Un estiloconservador consiste en escribir cada sistema con sus variables, ecuaci´n por ecuaci´n: o o x + 2y − 2z = 0 , x + 2y − z = 0 , y + 5z = 0

y darle un valor diferente de cero a una de las variables libres y cero a las restantes variables libres. Con ello quedan determinados los valores de las variables b´sicas. Los a trios que se obtienen constituyen bases respectivas de E1 y E2 . En este caso elprimer sistema tiene a y y z como variables libres, y el segundo a z.

B1

8 „ Ž „ Ž9 2 < −2 = 1 0 = , : 0 ;, 1

B2

8 „ Ž9 < 11 = = : −5 ; . 1

Tenemos que B1 y B2 son bases respectivas de E1 y E2 .(2 ii. ¿Es E1 + E2 suma directa? Justificar la respuesta. Respuesta: Hay que demostrar que E1 ∩E2 = {0R3 }. Para ello, consecuentemente con el significado de la intersecci´n, formamos un sistemareuniendo a las tres ecuaciones o de los dos anteriores sistemas. El sistema resultante tiene soluci´n unica x = y = z = 0 o ´ (no hay variables libres). Por lo tanto, la suma E1 + E2 es directa. Otra manera de llegar al resultado es mediante la f´rmula: o dim(E1 + E2 ) = dim(E1 ) + dim(E2 ) − dim(E1 ∩ E2 ). La dimensi´n de la suma E1 + E2 puede obtenerse reduciendo a escalonada una matriz o...