Boletin_Tema4

Bolet´ın de exercicios do Tema 4:
Diferenciaci´on de funci´ons de varias variables.
Asignatura: C´alculo
Curso 2013/2014
1. M´
etodo de Newton. Unha aplicaci´on da recta tanxente, ´e a aproximaci´on das soluci´ons de f (x) = 0, f : [a, b] → R derivable. Para calcular unha soluci´on aproximada o
que se fai ´e tomar un punto x0 cercano ´a ra´ız (p´odese determinar mediante o Teorema
de Bolzano),aproximar f (x) mediante a s´
ua recta tanxente no punto x0 e calcular a
ra´ız desta recta. Este xa ´e un problema ben doado, con soluci´on
x1 = x0 −

f (x0 )
f (x0 )

Repetindo o procedemento partindo esta vez do x1 , e as´ı sucesivamente, obtense unha
sucesi´on {x0 , x1 , x2 , ...} que, se ten l´ımite, este ´e unha ra´ız de f (x) = 0. Cantos m´ais
termos calculemos da sucesi´on, m´ais precisaser´a a aproximaci´on da ra´ız.
Aplicar o m´etodo de Newton para aproximar a soluci´on da ecuaci´on ex − 3x = 0 no
intervalo [0, 1] (Calcular tres pasos do m´etodo con x0 = 0).
2. O potencial el´ectrico V nun punto P do plano, creado por unha carga puntual situada
na orixe de coordenadas, v´en expresado por V (x, y) = √ 21 2 . Atopar a raz´on de
x +y

cambio do potencial na direcci´on dos eixos nopunto (1, 1).
3. Sexa f (x, y, z) = x2 e−yz . Calcular a variaci´on de f por unidade de lonxitude na direcci´on do vector
v = (1, 1, 1).
4. Calcular as derivadas direccionais das seguintes funci´ons nos puntos indicados e segundo un vector unitario nunha direcci´on paralela ao vector indicado en cada caso
a) f (x, y) = xy , (x0 , y0 ) = (e, e), v = ( 35 , 45 ).
b) f (x, y, z) = ex + yz, (x0 , y0, z0 ) = (1, 1, 1), v = (1, −1, 1).
c) f (x, y, z) = xyz, (x0 , y0 , z0 ) = (1, 0, 1), v = (1, 0, −1).

1

5. Est´
udese a continuidade na orixe e a existencia de derivadas parciais da funci´on definida
por
f (x, y) =| x | se | x |≥| y |, e f (x, y) =| y | se | y |>| x | .
6. Est´
udese a diferenciabilidade na orixe das funci´ons seguintes
i) f : R2 → R3 , definida por f (x, y) = (ex+y , sen(x −y), x2 sen x1 ) se x = 0, f (0, y) =
(ey , sen(−y), 0).
ii) g : R3 → R3 definida por g(x, y, z) = (cos(yz), xyz, z1 ) se z = 0, g(x, y, 0) = (1, 0, 0).
En caso de existir, calc´
ulese a diferencial na orixe.
7. Def´ınese a funci´on f : R × R → R por:
f (x, y) =

x5
, se (x, y) = (0, 0).
(x2 − y 2 )2 + x8

f (0, 0) = 0.
a) Atopar as derivadas parciais,

∂f
∂f
(0, 0) e
(0, 0) e comprobar se f ´ediferenciable
∂x
∂y

no punto (0, 0).

√
b) Calcular a derivada de f no punto (0, 0) e na direcci´on de ( 12 , 23 ).
8. Dada a funci´on:
f (x, y) =

3y 2 x−2y 3
x4 +y 2

se (x, y) = (0, 0),

0

se (x, y) = (0, 0).

estudiar a existencia de derivadas direccionais e a diferenciabilidade de f no punto
(0, 0).
9. Estudiar a continuidade, existencia de derivadas parciais e diferenciabilidade en (0, 0)das funci´ons:
√x|y|

se (x, y) = (0, 0),

0

se (x, y) = (0, 0)

x2 +y 2

f (x, y) =

(x2 + y 2 ) sen √

f (x, y) =

f (x, y) =

0



f (x, y) =

xy 2
x + y4

0

 x sen


se (x, y) = (0, 0),
se (x, y) = (0, 0).

2



1
x2 +y 2

se (x, y) = (0, 0)
se (x, y) = (0, 0).

1
x2 + y 2

0

se (x, y) = (0, 0)
se (x, y) = (0, 0).

2

10. Dada a funci´on:

calcular


2
2
 xy x − y (x, y) = (0, 0)x2 + y 2
f (x, y) =

0
(x, y) = (0, 0)

∂f
∂f
(a, 0),
(0, b), para a, b constantes.
∂x
∂x

11. Sexan as funci´ons f : R3 → R2 e g : R2 → R2 definidas por f (x, y, z) = (sen(xy +
z), (1 + x2 )yz ) e g(u, v) = (u + ev , v + eu ).
a) Dem´ostrese que f ´e diferenciable en (1, −1, 1) e calc´
ulese Df (1, −1, 1).
ulese Dg(0, 12 ).
b) Dem´ostrese que g ´e diferenciable en (0, 21 ) e calc´
c) Calc´ulese D(g ◦ f )(1, −1, 1).
12. Atopar as constantes a, b, e c tales que a derivada direccional m´axima de f (x, y, z) =
axy 2 + byz + cz 2 x3 no punto (1, 2, −1) sexa 64 e este valor se alcance na direcci´on
paralela ao eixo z.
13. Atopa-la derivada direccional da funci´on f (x, y, z) = x2 − 2xy + z 3 no punto (1, −1, 2)
e na direcci´on do vector (−1, 3, 1).
En qu´e direcci´on ´e m´axima a derivada...