Bondad De Ajuste

Apunte preparado por el profesor Sr. Rosamel Sáez Espinoza con fines de docencia Pruebas de bondad de ajuste Al estimar los parámetros del modelo se supone que los datos constituyen una muestra aleatoria seleccionada de una distribución que, salvo por sus parámetros, es conocida, sin embargo, en muchas ocasiones necesitamos realizar un contraste sobre la forma de la distribución supuestamentegeneradora de los datos. Tal contraste se conoce con el nombre de prueba de bondad de ajuste. Los dos contrastes más comunes de ajuste son el contraste Chi-cuadrado de Pearson y el de Kolmogorov- Smirnov. El primer test, compara las frecuencias observadas con las especificadas por el modelo y es válido para distribuciones discretas o continuas y se recomienda para muestras mayores o iguales a 30. Elsegundo mide la distancia entre la función de distribución empírica y la teórica y es válido sólo para variables continuas. La hipótesis a contrastar es: H0: los datos siguen una distribución f(x) H1: los datos no siguen una distribución f(x) Contraste Chi-cuadrado de Pearson: Caso 1: Variable aleatoria discreta: Sean x1, x2, …, xk, los posibles valores de una variable aleatoria X, discreta.Supongamos que en una muestra de tamaño n se han observado estos posibles valores con frecuencias O1, O2, … , Ok, con

∑O
i =1

n

i

= n . Sean pi=P(X = xi) con i=1, …,k las probabilidades que asigna el modelo

supuesto. Sea además Ei = npi con i=1, …,k, las frecuencias esperadas. Si el modelo es correcto, y Ei ≥ 5, entonces la variable:
Ei Sigue una distribución aproximadamenteChi-Cuadrado con los grados de libertad según se indica a continuación: i) Si el modelo especifica completamente las probabilidades pi, que son conocidas antes de tomar la muestra, el número de grados de libertad será k-1. ii) Si las probabilidades pi se han calculados estimando r parámetros del modelo por máxima verosimilitud, el número de grados de libertad es k-r-1. La hipótesis H0 será rechazada sivalor de la prueba es inferior a un nivel de significación dado.
i =1

χ =∑
2

k

( Oi − Ei )

2

Caso 2: Variable aleatoria continua: Para una variable continua agrupamos los datos muestrales en intervalos de clases (las clases extremas serán, en general, abiertas). Sean O1, O2, … , Ok, las frecuencias observadas, y sean p1, p2, …, pk las probabilidades que el modelo asigna a estasclases, luego Ei = npi con i=1, …,k, son las frecuencias esperadas. Si el número de clases es al menos cinco y la frecuencia esperada en cada clase es al menos cinco, la variable:

χ =∑
2 i =1

k

( Oi − Ei )
Ei

2

1

Apunte preparado por el profesor Sr. Rosamel Sáez Espinoza con fines de docencia Sigue asintóticamente una distribución χ 2 con grados de libertad obtenidos como se haindicado anteriormente. La hipótesis H0 será rechazada si valor de la prueba es inferior a un nivel de significación dado. Observación: Si alguna de las frecuencias esperadas es inferior a 5 se recomienda fusionar con otras clases hasta que la frecuencia esperada sea superior de cinco. Ejemplo: Durante la segunda guerra mundial se dividió el mapa de Londres en cuadrículas de ¼ km2 y se contó el númerode bombas caídas en cada cuadrícula durante un bombardeo alemán. Los resultados fueron: xi: n° de impactos en la cuadrícula Oi: frecuencia 0 229 1 211 2 93 3 35 4 7 5 1

Contrastar la hipótesis que los datos siguen una distribución de Poisson. Sol: A continuación se muestra el histograma para la variable
Histograma para el número de impactos 250 200 150 100 50 0 0 1 2 3 4 5

Veamos ahoraalgunos histogramas usando la distribución de Poisson para diferentes valores de λ a fin de observar cual es la más semejante.
Histograma para el número de impactos para lambda=0.6 350 300 250 200 150 100 50 0 0 1 2 3 4 5 300 250 200 150 100 50 0 0 1 2 3 4 5 Histograma para el número de impactos para lambda=0.8

2

Apunte preparado por el profesor Sr. Rosamel Sáez Espinoza con fines de...