Boole

D.I.I.C.C
Arquitectura de Sistemas Computacionales

CAPITULO 6 .- ÁLGEBRA DE BOOLE
INTRODUCCIÓN.

E

n 1854 George Boole introdujo una notación simbólica para el tratamiento
de variables cuyo valor podría ser verdadero o falso (variables binarias)
Así el álgebra de Boole nos permite manipular relaciones proposicionales
y cantidades binarias. Aplicada a las técnicas digitales se utilizapara la
descripción y diseño de circuitos más económicos. Las expresiones booleanas
serán una representación de la función que realiza un circuito digital. En estas
expresiones booleanas se utilizarán las tres operaciones básicas (AND, OR
NOT) para construir expresiones matemáticas en las cuales estos operadores
manejan variables booleanas (lo que quiere decir variables binarias).

Elestudio de los sistemas numéricos nos ha permitido visualizar que
el sistema binario tiene una implementación natural mediante algún
dispositivo electrónico como por ejemplo, un interruptor que habilita o
deshabilita una variable eléctrica como son Voltaje e Intensidad de
corriente.
El estudio de los códigos nos entregó una forma compacta para la
representación de números y símbolosalfanuméricos de uso habitual en
nuestro lenguaje. En lo que sigue, estudiaremos la base técnica en la cual
se sustenta el funcionamiento de los diferentes circuitos electrónicos
digitales, los cuales permiten desarrollar funciones específicas.

6.1 ÁLGEBRA DE BOOLE.
Un conjunto ℜ sobre el cual se han definido operaciones binarias (+, *), se
llama álgebra de Boole, si cumple los postulados:
Postulado1: La multiplicación y la suma son conmutativas.
i) a+b=b+a
ii) a·b=b·a
Postulado 2: ℜ contiene elementos neutros, 0 y 1, con respecto a la + y a
la *, tal que:
i) a+0=a
ii) a·1=a

Capitulo 6.- Álgebra de Boole

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Postulado 3: Cada operación es distributiva respecto a la otra, es decir:
∀ a, b, c ∈ ℜ se verifica que:
i)a+b·c = (a+b)·(a+c)
ii) a·(b+c) = a·b + a·c
Postulado 4: Cada operación tiene elemento inverso, es decir:
∀ a ∈ ℜ ∃ a ∈ ℜ tal que:
i) a+ a =1
ii) a· a =0
Un álgebra de boole satisface el principio de dualidad:
"Todo teorema deducible de los 4 postulados de un álgebra
Booleana sigue siendo válido si se intercambian los símbolos + y *,
los elementos 0 y 1 entre si."
En consecuencia bastademostrar uno de los enunciados para
posteriormente deducir el otro por dualidad.
Ejemplo 1: Demostrar que ∀ a ∈ ℜ a+a=a.
Dem:
(a+a) = (a+a)·1
= (a+a)(a+ a )
= a+(a· a )
= a+0
=a

/por postulado 2
/por postulado 4
/por postulado 3
/por postulado 4
/por postulado 2

Ejemplo 2: Demostrar que ∀ a ∈ ℜ a·0=0.
Dem:
(a·0) =
=
=
=
=

(a·0)+0
a·0+a· a
a·( a +0)
a· a
0

/por/por
/por
/por
/por

postulado
postulado
postulado
postulado
postulado

2
4
3
2
4

Ejemplo 3: Demostrar que ∀ a,b ∈ ℜ a+a·b=a
Dem:
a+a·b = a·1+a·b
= a·(1+b)
= a·1
=a

/por
/por
/por
/por

postulado 2
postulado 3
demostración anterior
postulado 2

Ejercicios. Demostrar:
a) a·a = a

b) a+1 = 1 c) a·(a+b) = a

Capitulo 6.- Álgebra de Boole

d) a·( a +b) = a·bPágina 2

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6.1.1 Teoremas del Álgebra de Boole
1. Regla del cero y la unidad
a) X + 0 = X
b) X + 1 = 1

c) X · 1 = X
d) X · 0 = 0

2. Idempotencia o potencias iguales
a) X + X = X

b) X · X = X

3. Complementación
a) x +

x=1

b) X * X = 0

4. Involución

5. Conmutatividad
a) conmutatividad del “+”
X+Y=Y+X

b)conmutatividad del “·”
X· Y=Y ·X

6. Asociatividad
a) asociatividad del “+”
X + (Y + Z) = (X + Y) + Z

b) asociatividad del “·”
X · (Y · Z) = (X · Y) · Z

7. Distribuitividad
a) distribuitividad del “+”
X + (Y · Z) = (X + Y) · (X + Z)

b) distribuitividad del “·”
X · (Y + Z) = (X · Y) + (X · Z)

8. Leyes de absorción
a) X · (X + Y)= X

e) X + X·Y = X

b) X · (

f) X +

c)...