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Aproximaciones para filtros analógicos
Un filtro ideal debe transmitir sin cambios las señales en una determinada
gama de frecuencias, llamada banda pasante, y rechazar todas las demás, la banda
eliminada. Esto, en la práctica, es imposible por razones físicas, por lo cual se
emplean una serie de aproximaciones matemáticas que cumplen con las
características deseadas, dentro de ciertasespecificaciones de diseño. En este
resumen se presentan las ecuaciones de interés para las cinco aproximaciones más
comunes. Todas ellas corresponden a filtros pasa-bajos normalizados, en los que
alguna frecuencia crítica es igual a 1 rad/s. Esta variable de frecuencia normalizada
_
se indica como "ω". La teoría resumida a continuación se presenta en detalle en las
referencias [1] a [3].

1.-Aproximación Butterworth.
Es derivada a partir del requisito de que el módulo de la función de
_
transferencia sea máximamente plano alrededor de ω = 0. La forma resultante es:
_
|H(j ω)|

2

=

1
_
1+ω

2n

(1.1)

La atenuación de un filtro se define como:
A(ω) = 10 log |H(j ω)|2
_
por lo cual A(1) = 3 dB, es decir, ω = 1 rad/s es el punto de potencia mitad.
El orden delfiltro para la aproximación Butterworth puede obtenerse a partir de
(1.1) resolviendo para n:
n≥

log{[(10Aa/10 - 1)/(10Ap/10 - 1)]1/2 }
__ __
log(ωa/ωp)

(1.2)

donde Ap es la atenuación máxima permitida en la banda pasante, Aa, la atenuación
_
_
mínima requerida en la banda rechazada (ambas en dB), y las frecuencias ωp y ωa son
los límites de la banda pasante y la banda rechazada,respectivamente.

Los polos de la función H(s) se distribuyen alrededor de la circunferencia
unitaria:
sk = ej π[(2k - 1)/2n + 1/2] 1 ≤ k ≤ n

(1.3)

Puesto que los polos complejos aparecen como pares conjugados, sólo hay que
evaluar la expresión (1.3) para 1 ≤ k ≤ (n + 1)/2. Si n es impar, k = (n + 1)/2
corresponde al polo real.

2.- Aproximación Chebycheff.
En la aproximaciónButterworth la atenuación crece monótonamente en la
banda pasante. Una solución mejor sería el distribuir este error de aproximación de
manera más uniforme, lo cual lleva a las respuestas del tipo conocido como "equiripple". La más simple utiliza los polinomios de Chebycheff para lograr una respuesta
de magnitud dada por:
_
|H(j ω)|

2

1

=
1+

_
ε2C n2(ω)

(2.1)

_
_
donde C n(ω) =cos[n cos-1 (ω)] es el polinomio de Chebycheff de orden n, y ε es
un parámetro que determina la atenuación máxima en la banda pasante. En la
_
aproximación Chebycheff, ω = 1 rad/s corresponde a la frecuencia a partir de la cual
la atenuación crece monótonamente; en éste punto, A(1) = 10 log(1 + ε2), que no
coincide con el punto de potencia mitad, excepto en el caso ε = 1. El valor de nnecesario es determinado a partir de (2.1), resolviendo para n:
n≥

cosh-1 {[(10Aa/10 - 1)/(10Ap/10 - 1)]1/2 }
__ __
cosh-1 (ωa/ωp)

(2.2)

_
Los polos de H(s), sk = σk + jωk, vienen dados por:
1
σk = sinh  n sinh-1


1
(2k - 1)π
ε  sen
2n


(2.3.a)

_
1
ωk = cosh  n sinh-1


1
(2k - 1)π
ε  cos
2n


(2.3.b)

De nuevo, los polos complejos deben aparecercomo pares conjugados, por lo
cual la expresión (2.3) sólo necesita ser evaluada para 1 ≤ k ≤ (n + 1)/2. Si n es impar,
k = (n + 1)/2 corresponde al polo real.

2

3.- Aproximación Elíptica o Cauer.
Las aproximaciones anteriores son funciones de puros polos, por lo que todos
los ceros de transmisión se encuentran en el infinito. Una forma de reducir la banda
de transición, es decir,lograr una caída más abrupta de la banda pasante a la
rechazada, es distribuir los ceros de transmisión a lo largo del eje imaginario. Una
solución de este tipo es la ofrecida por W. Cauer utilizando funciones elípticas.
Aunque la deducción de la función de transferencia es muy complicada, su cálculo
puede realizarse con un algoritmo relativamente simple de programar [3]. El
algoritmo permite...