Cálculo fraccionario

Jornadas de Ingeniería de Control Pamplona, 14 y 15 de Marzo de 2006

MÉTODOS DE SINTONÍA Y AUTOSINTONÍA DE PIDs FRACCIONARIOS
Blas M. Vinagre, Concepción A. Monje

*Escuela de Ingenierías Industriales. Universidad de Extremadura (Badajoz), Spain. e-mail: cmonje@unex.es; bvinagre@unex.es

1

MÉTODOS DE SINTONÍA Y AUTOSINTONÍA DE PIDs FRACCIONARIOS ÍNDICE
Cálculo Fraccionario ControlFraccionario Sintonía de controladores PID fraccionarios Autosintonía Conclusiones
2

CÁLCULO FRACCIONARIO
• Definiciones (Riemann – Liouville):

3

CÁLCULO FRACCIONARIO
• Definición de Gründwald – Letnikov:

• Otras definiciones: Weyl (Potencial), Caputo (Condiciones iniciales interpretables).

4

CONTROL FRACCIONARIO

5

CONTROL FRACCIONARIO
Acciones básicas de controlAcción integral

Acción derivativa
6

CONTROLADORES PID FRACCIONARIOS
• Dos estructuas:
• Sintonía: Encontrar los valores de los parámetros para satisfacer 5 especificaciones de diseño.

ki C ( s) = k p + λ + kd s µ s
• Autosintonía: Compensación atraso-adelanto.

7

SINTONÍA DE CONTROLADORES PID FRACCIONARIOS Especificaciones
Phase Margin (φm) and Gain Crossover Frequency (ωcg)Arg ( F ( jωcg )) = Arg (C ( jωcg )G ( jωcg )) = −π + φm

F ( jωcg )

dB

= C ( jωcg )G ( jωcg )

dB

= 0dB

Robustness to Variations in the Gain of the Plant
d ( Arg ( F ( jω )) ) =0 dω ω =ωcg

Output Disturbance Rejection (Sensitivity Function)
S ( jω ) dB = 1 1 + C ( jω )G ( jω ) dB ≤ BdB, ∀ω ≤ ω s rad / sec

High Frequency Noise Rejection
T ( jω ) dB C ( jω )G ( jω ) = ≤ AdB,∀ω ≥ ωt rad / sec 1 + C ( jω )G ( jω ) dB

1 − S ( s) = T ( s)
Complementary Functions
8

SINTONÍA DE CONTROLADORES PID FRACCIONARIOS Diseño
Set of Five Nonlinear Equations with Five Unknown Parameters (kp,kd,ki,λ,µ) Nonlinear Minimization Problem
F ( jωcg )
dB

=0

Main Function to Minimize

Arg ( F ( jωcg )) + π − φm = 0

d ( Arg ( F ( jω )) ) =0 dω ω =ωcg
S ( jω s ) − B dB =0
T ( jωt ) − A dB = 0

Constraints

FMINCON (Matlab)

9

SINTONÍA DE CONTROLADORES PID FRACCIONARIOS Ejemplo: Simulación
First-Order Plant Plus Integrator:
k 0.25 = G (s) = s (τs + 1) s ( s + 1)

Design Specifications:
1) ωcg = 1rad / sec 2) φm = 48.5º deg
3) Flat Phase
4) T ( jω ) dB ≤ −20dB, ∀ω ≥ ωt = 10rad / sec

5) S ( jω ) dB ≤ −20dB, ∀ω ≤ ω s = 0.01rad / secFractional PIλDµ Controller:
C (s) = k p + ki 2.1199 + k d s µ = 3.8159 + 0.6264 + 2.2195s 0.8090 sλ s

10

SINTONÍA DE CONTROLADORES PID FRACCIONARIOS Ejemplo: Simulación
Control of a First-Order Plant Plus an Integrator

1) ωcg = 1rad / sec

2) φm = 48.5º deg

3) Flat Phase
11

SINTONÍA DE CONTROLADORES PID FRACCIONARIOS Ejemplo: Simulación

4) T ( jω ) dB ≤ −20dB, ∀ω ≥ ωt = 10rad /sec

5) S ( jω ) dB ≤ −20dB, ∀ω ≤ ω s = 0.01rad / sec
12

SINTONÍA DE CONTROLADORES PID FRACCIONARIOS Ejemplo: Experimento
Design Specifications:

G (s) =

k e − Ls τs + 1

C ( s ) = 0.0469 +

0.0469 s 0.7333

+ 1.4747 s 0.3146
13

SINTONÍA DE CONTROLADORES PID FRACCIONARIOS Otros métodos

14

SINTONÍA DE CONTROLADORES PID FRACCIONARIOS Otros métodos
Controladores PID –Optimización (Barbosa, Machado, 2003)

15

AUTOSINTONÍA

The idea: automatic tuning of a controller, generally a PID, so that an unknown plant can be controlled, fulfilling several design especifications.

ki + kd s C (s) = k p + s
Two parts: a) information of the plant (relay test). b) tuning of the controller with that information. There are different auto-tuning methods for conventionalPID controllers, currently working on industrial environments. The more complex the controller design method, the more difficult the implementation problem (computer/PLC).
16

AUTOSINTONÍA

Auto-Tuning Method for a Fractional PIλDµ Controller.
C (s) = k p + ki + kd sµ λ s

The introduction of the orders λ and µ allows the fulfillment of a robustness constraint without increasing the...