Cálculo

Cálculo Infinitesimal: grupo piloto
Curso 2006/07
Tema 4: Funciones elementales. Límites y continuidad.
A. Objetivos. Al finalizar el tema, los estudiantes deberán ser capaces de:
• Determinar el dominio y simetrías de una función.
• Reconocer las funciones elementales y operar con ellas.
• Calcular límites.
• Aplicar el cálculo de límites para el estudio de las asíntotas deuna función.
• Reconocer gráficamente una función continua.
• Utilizar los teoremas fundamentales para el estudio de funciones concretas.

B. Contenidos.

Definiciones previas: función real de variable real, dominio e imagen, función creciente y decreciente, función par e impar, función acotada, función periódica, composición de funciones, función inversa. Funciones racionales.Funciones trigonométricas. Funciones trigonométricas inversas. Funciones exponenciales y logarítmicas. Funciones hiperbólicas. Concepto de límite. Álgebra de límites y teoremas fundamentales. Asíntotas. Función continua en un punto. Propiedades. Función continua en un intervalo cerrado y acotado. Propiedades.

C. Trabajo personal del alumno.
• Repaso de conceptos sobre funciones y de las funcioneselementales, en sus materiales de estudio de cursos anteriores o capítulo 3 del libro Teoría y problemas de Análisis Matemático en una variable. Alfonsa García y otros. Ed. Clagsa.
• Estudio del capítulo 6 del libro anterior salvo la sección 7.
• Comprensión de los problemas resueltos 6, 7, 11, 12, 14, 18, 19, 20, 21 y 22.
• Evaluación continua. Se deben entregar resueltos lossiguientes problemas:
8. apartados c) y d), 11. apartado b), 13. y 15. el jueves 30 de noviembre.

D. Problemas

1. Hallar el dominio de definición de las siguientes funciones:
| | |
|a) 2x()ln2xfx+⎛⎞=⎜⎟∧⎝⎠|b) 1()arcsenxgx⎛⎞=⎜⎟⎝⎠ |

Capítulo 11
Funciones elementales
La familiaridad que a través del uso hemos llegado a adquirir con funciones como la exponencial,
el logaritmo, las funciones trigonométricas, pueden habernos hecho olvidar que en realidad nunca
hemos establecido una definición analítica rigurosa de todas ellas. Mediante consideraciones gráficas,en algunos casos, o confiando en la autoridad en otros, hemos aceptado ciertas propiedades (entre
ellas, nada menos que su existencia), de las que hemos ido deduciendo las demás.
Excepciones notables a esta situación han sido la función logaritmo y la función exponencial.
En el capítulo de integración, el teorema fundamental del cálculo integral (teorema 6.3.4) nos proporcionó
un método deconstrucción de la función logaritmo como primitiva de la función 1/x, y
definimos luego la función exponencial como inversa del logaritmo. No es esta la única manera de
construir estas funciones, como vamos a probar a continuación, invirtiendo el proceso: definiremos
primero la función exponencial como suma de una serie, y después el logaritmo como inversa de la
exponencial. Igualmentedefiniremos las funciones seno y coseno como sumas de ciertas series de
potencias, y demostraremos después que las funciones así definidas tienen todas las propiedades que
manejamos habitualmente. En la última sección, veremos cómo también es posible construir las funciones
trigonométricas por el método de las primitivas, empezando con las funciones trigonométricas
inversas.
Nos situamos, pues, en elprincipio de los tiempos, como si nunca hubiéramos oído hablar de
estas funciones, y sin más herramientas que los conocimientos teóricos aprendidos a lo largo del
curso (que no se apoyan en las propiedades de estas funciones) vamos a definirlas partiendo de cero,
bien mediante series de potencias, bien mediante primitivas.
11.1. Funciones elementales: construcción mediante series de...