Cálculo

Teorema del valor medio o teorema de Lagrange

Sea f una función real continua en el intervalo cerrado [a,b] y diferenciable en el intervalo abierto (a,b). Entonces, existe un cperteneciente a (a,b) tal que la tangente a la curva en c es paralela a la recta secante que une los puntos (a,F(a)) y (b,F(b))

F´(c)=

El objetivo de este teorema no es el de hallar el punto csino el de utilizarlo en consideraciones teóricas o para obtener estimaciones de las variaciones de la función. En éstos casos es preferible reescribir la función a:

F(b) - F(a) = f´(c)(b - a)Ello permite, por ejemplo, estimar el incremento de la función en el intervalo [a,b] cuando se disponga de una cota M del valor absoluto de la derivada, entonces:

|F´(c)|M, se verifica|F| = |F´(c)|(b - a)
M(b - a)

Demostración

El conocimiento del significado de la derivada de una función en un punto,y de la ecuación punto-pendiente de una recta, permiten deducir que la ecuación de la recta tangente en un punto de la curva es:

Y = F(a) + (x - a)

Donde los pares de puntos (a, F(b)) y(b, F(b)) son una pareja cualquiera de puntos de la curva. Vamos a demostrar que, una vez conocida una pareja de puntos de una curva continua y derivable, existe un punto c contenido en elintervalo (a, b) tal que la pendiente en dicho punto es paralela a la recta que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Definimos una función:

g(x) = f(x) - y = f(x) -

Puesto que f es continuaen [a, b] y diferenciable en (a, b), lo mismo se puede decir de g. Además g satisface las condiciones del Teorema de Rolle ya que:

g(a) = g(b) f(a) - f(b) - (a - a) = f(b) - f(a) - (b - a)Por el Teorema de Rolle, como g es derivable en (a, b) y g(a) = g(b), existe un c perteneciente (a, b) tal que g'(c) = 0, y por tanto:

0 = g´(c) = f´(c) -
y así:

f´(c) =