Códigos Cíclicos

Cap´
ıtulo 3: F´rmula de Taylor
o
3.1.

El polinomio de Taylor

Hemos visto al estudiar la derivaci´n que, si f es una funci´n derivable en
o
o
x0 , entonces la funci´n polin´mica t(x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) es una buena
o
o
aproximaci´n de f (x) en las cercan´ de x0 . M´s concretamente, la diferencia
o
ıas
a
f (x) − t(x) es tan peque˜a en las proximidades de x0 que f (x) −t(x) es un
n
infinit´simo en x0 de orden superior al incremento x − x0 .
e
Ahora, nos planteamos el problema de mejorar la aproximaci´n usando
o
un polinomio de mayor grado. Por ejemplo, nos gustar´ disponer de un
ıa
polinomio de grado 2, P (x), que diera una buena aproximaci´n de f (x) en el
o
sentido de que
f (x) − P (x)
l´
ım
= 0.
x→x0 (x − x0 )2
M´s en general, nos planteamosel problema de determinar un polinomio de
a
grado n, P (x), que verificara
l´
ım

x→x0

f (x) − P (x)
= 0.
(x − x0 )n

Esto nos permitir´ obtener una aproximaci´n de f (x) tan buena como deıa
o
se´ramos, bastar´ escoger n convenientemente grande. Nos puede ayudar,
a
ıa
en la b´squeda de un tal polinomio, recordar la relaci´n que existe entre las
u
o
gr´ficas de y = f (x) e y =t(x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ): son una curva y la
a
recta tangente en el punto (x0 , f (x0 )). Por tanto, se trata de dos curvas que

1

pasan por el punto (x0 , f (x0 )) con la misma tangente:
f (x0 ) = t(x0 )

y

f (x0 ) = t (x0 ).

Estas ideas nos sugieren buscar un polinomio Tn (x) (de grado menor o igual
que n) que tenga en com´n con f las primeras derivadas hasta el orden n:u
k)
f k) (x0 ) = Tn (x0 ), k = 0, 1, 2, ..., n.

(3.1)

Para determinar un polinomio Tn (x) verificando (3.1), escribimos Tn (x) =
a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + ... + an (x − x0 )n con los coeficientes ak
por determinar. Para encontrar estos coeficientes, calculmos las derivadas
sucesivas de Tn (x) y obligamos a que se cumplan las igualdades (3.1). Las
derivadas de Tn (x) tienen laforma:
Tn (x)

= a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + . . . + an (x − x0 )n

Tn (x)

= a1 + 2a2 (x − x0 ) + 3a3 (x − x0 )2 + . . . + nan (x − x0 )n−1

Tn (x)

= 2a2 + 2 · 3a3 (x − x0 ) + 3 · 4a4 (x − x0 )2 + . . . + (n − 1) · nan (x − x0 )n−2

Tn (x) = 3 · 2a3 + 2 · 3 · 4a4 (x − x0 ) + 3 · 4 · 5a5 (x − x0 )2 + . . .
. . . + n(n − 1)(n − 2)an (x − x0 )n−3
Haciendo x = x0 , obtenemosTn (x0 ) = a0 ,

Tn (x0 ) = a1 ,

Tn (x0 ) = 2a2 ,

Tn (x0 ) = 3!a3 .

k)

Continuando de este modo encontramos Tn (x0 ) = k! ak . Por tanto, los coefif k) (x0 )
cientes tienen la forma ak =
, para k = 0, 1, 2, . . . , n. Entonces hemos
k!
demostrado que el unico polinomio de grado menor o igual que n que puede
´
cumplir (3.1) tiene la forma
f (x0 )
f 2) (x0 )
f n) (x0 )
(x − x0) +
(x − x0 )2 + . . . +
(x − x0 )n =
1!
2!
n!
f k) (x0 )
(x − x0 )k .
k!

Tn (x) = f (x0 ) +
n

=
k=0

2

Definici´n 3.1.1. Sea f una funci´n n veces derivable en x0 . El polinomio
o
o
n

Tn (x) =
k=0

f k) (x0 )
(x − x0 )k
k!

recibe el nombre de polinomio de Taylor de f de orden n en el punto
x0 .
Notas 3.1.2. 1. Como f n) (x0 ) puede valer 0, el polinomio deTaylor Tn (x)
puede ser de grado menor que n.
2. La recta tangente a la gr´fica de f en el punto x0 , esto es,
a
t(x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 )
no es otra cosa que el polinomio de Taylor de f de orden 1 en el punto x0 .
El hecho de que el polinomio de Taylor verifique (3.1) nos permite intuir
que Tn (x) debe ser una buena aproximaci´n de f (x), al menos para x cero
cano a x0 , pues lascurvas y = f (x) e y = Tn (x) tienen en (x0 , f (x0 )) un
contacto de orden n (igualdad de las primeras n derivadas en x0 ). A continuaci´n, nos ocupamos de averiguar hasta qu´ punto Tn (x) es una buena
o
e
aproximaci´n de f (x). En concreto, en el siguiente teorema se demuestra que,
o
bajo determinadas condiciones sobre f , el polinomio de Taylor Tn (x) verifica
l´
ım

x→x0

f (x) − Tn...