Calc1

APLICACIONES DE LA MATEMATICA
INTRODUCCION AL CALCULO
AXIOMATICA DE LOS NUMEROS REALES

PROFESOR: CHRISTIAN CORTES D.

I) LOS NUMEROS REALES.
Designaremos por R, al conjunto de los números reales. En R existen dos
operaciones bináreas internas llamadas suma (o adición) y multiplicación ( o
producto).
La suma de los reales x e y se denota por x+y
El producto de los reales x e y se denota por xyR, satisface los siguientes axiomas:
A1) Asociatividad de la suma.
Para todo x, y , z ∈ R, x+(y+z)=(x+y)+z
A2) Conmutatividad de la suma.
Para todo x,y ∈ R, x+y = y+x
A3) Elemento neutro aditivo.
Existe en R un elemento llamado cero y denotado por 0, tal que para todo x∈ R, x+0=x
A4) Elemento inverso aditivo.
Para todo número real x, existe otro número real llamado el inverso aditivo de x ydenotado por -x, tal que x+(-x)=0
A5) Asociatividad del producto.
Para todo x,y,z ∈ R, x(yz)=(xy)z
A6) Conmutatividad del producto.
Para todo x,y ∈ R, xy=yx
A7) Neutro multiplicativo.
Existe en R un elemento llamado "uno", y denotado por 1, tal que para todo x ∈ R,
x1=x
A8) Inverso multiplicativo.
Para todo número real x distinto de 0, existe otro real llamado inverso multiplcativo
de x y denotado porx -1 , tal que xx-1 =1.
A9) Distributividad de la multiplicación con respecto a la suma.
Para todo número real x, y, z ∈ R, x(y+z)=xy+xz.
Obs.: Por el hecho de satisfacer R, los axiomas A1 a A9, diremos que R, es un cuerpo.
Obs.: Por ser la suma y la multiplicación operaciones bináreas en R, se tiene que:
(i) S¡ x,y ∈ R, entonces x+y ∈ R.
(ii) S¡ x, y ∈ R, entonces xy ∈ R.

Algunas reglasalgebraicas deducidas de los axiomas.
1) Ley de cancelación de la suma.
Sí a+x=a+y, entonces x=y
Observacion:
Este teorema claramente presenta la forma habitual: hipótesis implica tesis.
Hipótesis (lo que se sabe)
: a+x=a+y
Tesis ( lo que hay que demostrar): x=y

Es decir debemos demostrar que x=y, si ocurre que a+x=a+y, solamente usando los
axiomas.
Fundamento
x=x+0
x + 0 = x + (a + (-a))
x + (a +(-a)) = (x + a) + (-a)
(x + a) + (-a) = (a + x) + (-a)
(a + x) + (-a) = (a + y) + (-a)
(a + y) + (-a) = (y + a) + (-a)
(y + a) + (-a) = y + (a + (-a))
y + (a + (-a)) = y + 0
y+0=y

A3)
A4)
A1)
A2)
hipótesis
A2)
A1)
A3)
A4)

2) a·0 = 0
Demostración.
a·0 = a·(0 + 0)
= a·0 + a·0
Luego a·0 = a·0 + a·0
0 = a·0

A3)
A9)
Cancelación

3) La ecuación a+x = b, tiene solución única.
Demostración: Acá debemosdemostrar dos cosas:
a) La ecuación a+x=b tiene solución.
Sea x= a+(-b), entonces, x es solución de la ecuación.

b) Unicidad.
Supongamos que x1 y x2 son soluciones de la ecuación.
Sí es así a+x1=b,
y
a+x2=b,
Por lo tanto,
a+x1=a+x2
usando la ley de cancelación de la suma, se tiene que
x1=x2.
Luego podemos concluir que no hay dos valores para x, sino sólo 1.
4) Ley de cancelación del producto.
Síax=ay, entonces x=y siempre que "a" sea distinto de cero
Demostración: tarea
Definición 1 :
1) La solución de a+x = b se llama diferencia entre a y b y se denota por b-a, es decir
a+(-b) = a-b.
2) la solución de ax=b, se llama cuociente entre b y a y se denota por b/a ó b:a, es
decir ba-1 = b/a.

5) La ecuación ax=b con "a" distinto de 0, tiene solución única.

2

Demostración: tarea
6) Cero esúnico.
Demostración : tarea
7) -a es único.
demostración: tarea
8) 1 es único.
demostración: tarea
9) a -1 es único.
demostración: tarea
10) -(-a) = a
11) (a-1 ) -1 = a
12) a(-b) = -ab
13) (-a)(-b) = ab
14) Sí ab= 0 entonces a=0 o b=0
15) -(a+b) = (-a) + (-b)
16) (ab)-1 = a -1 b-1
17) a - (b + c) = a - b - c
18) a - (b - c) = a - b + c
19) ac = a
bc b
20) a + c = ad + bc
b d
bd
21) a _ c = ad -bcb d
bd
22) a . c = ac
b d bd

23) a : c = ad
b d
bc
24) a . c = ac
b
b
25) a : c = a

3

b

bc
ORDEN EN R

En R, existen algunos elementos llamados reales positivos, que forman un
subconjunto de R, denotado por R+.
El conjunto de los reales positivos satisface los dos siguientes axiomas:
O1) Sí x,y ∈ R+, entonces x+y ∈ R+, y xy ∈ R+.
O2) Dado cualquier real x, una y solo una de las siguientes...