Calculo 2

caCÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VARIAS VARIABLES Ejercicios resueltos 3 1. La ecuación 2x 2  y 2  z 2  4x  2y  4z  0 a. ¿Qué superficie representa? b. Determine los puntos de corte con los ejes coordenados c. Determine las ecuaciones de la traza respecto el plano XY y de la sección plana para z  1 d. Esboce su gráfica Solución:

 y  1  z  2  1 , es hiperboloide de una 2x 1 a) Completando cuadrados se obtiene:  5 5 5
2 2 2

hoja. b) Con el eje x  y  z  0  x  0, x  2  0, 0, 0, 2, 0, 0 Con el eje z  x  y  0  z  0, z  4  0, 0, 0, 0, 0, 4
2 2

Con el eje y  x  z  0  y  0, y  2  0, 0, 0, 0, 2, 0

c) Traza con plano XY 

 y  1  1 , es una hipérbola. 2x  1  1 1 2 x  1   y  12  1 , es una hipérbola. Sección planaz=1  2 4

d)

1

2. Trace el sólido en el primer octante que está contenido en el cilindro x 2  y  3 , por debajo del plano x  z  4 y a la derecha del plano y  2 x . Luego describa el sólido como un conjunto de puntos x; y; z  de R3. Solución
4

z

z y 1 x

3
3

3

1; 2 ; 0

y

En el plano xy

x2  y  3 y  2x

x  3x  1  0
x  1; y  2

x 2  2x  3 0

E  x; y; z  / 0  x  1 ; 2 x  y  3  x 2 ; 0  z  4  x
También

 

 

E  x; y; z  / 0  x  1 ; 0  z  4  x ; 2 x  y  3  x 2

3. E es el sólido limitado por S1 : x 2  y 2  4 , S 2 : y  z  3, S 3 : y  2 x; S 4 : x  0, S 5 : z  0 a) Trace el sólido E. b) Describa el sólido como un conjunto de puntos (x, y, z) de R3.
z 3 y

Solución:

y  2x
2
 2 4 ,    5 5 

2

 3 y 2 x

2 x

tan 

y  2    tan 1 2 x

2

2   E   x, y, z  / 0  x  ; 2 x  y  4 - x 2 ; 0  z  3 - y 5  

   E   r , , z  / tan 1 2    ; 0  r  2 - y ; 0  z  3 - rsen  2  
4. Trace el sólido en el primer octante que está contenido en el cilindro x 2  y  2 , por debajo del plano x  z  4 y a la derecha del plano y  x. Luego describa el sólido como un conjunto de puntos (x, y, z) de R3. Solución

z

2

y

2
4 x
En el plano xy

1;1

x2  y  2 xy x2  x  2  0

x  2x  1  0
x  1; y 1

E   x; y ; z  / 0  x  1 ; x  y  2  x 2 ; 0  z  4  x





3

5. Dada las superficies S1 : y  x 2  1 , S2 : x  z  2 a. Esboce la gráfica de la región del primer octantelimitada por las superficies dadas y los planos coordenados y descríbala en forma ordenada. b. Dibuje una gráfica similar a la anterior donde resalte la curva intersección C de las superficies dadas. c. Determine una función vectorial que describe la curva C. Solución:

z
a.

x

2

1 5 y

E  x, y, z   R / 0  x  2 ; 0  y  x 2  1; 0  z  2  x





b.

z

x  t  2 y  t1 : 0  t  2 z  2  t 
C 2 x
c. r t   t ; t 2  1 ; 2  t ; 0  t  2

y

4

6. Considere las superficies S1 : x 2  y  0 y S 2 : x 2  z  2 a. Encuentre una función vectorial para la curva de intersección de S1 y S 2 b. Trace la curva para z  0 c. Determine ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la gráfica de la función de la parte (a) en el punto donde x  z .Solución

a)

S1 : x 2  y  0  y  x 2
S2 : x 2  z  2  z  2  x 2

x  t  Sea:  y  t 2 t R z  2  t 2 
rt   t; t 2 ; 2  t 2

b)

z  02  t 2  0   2  t  2



c)
2 ; 2; 0

2 ; 2; 0





t  1 x  z  t  2  t 2  t 2  t  2  0  t  2t  1  0   t  2
Considerando t  1

r1  1; 1 ;1 r ' t   1; 2t ; 2  2t  r ' 1  1; 2 ;  2x  1    L :  y  1  2 ;  z  1  2 

R

5

7. Dada la función f x, y  

x y2 2 yx

1

a. Encuentre y trace el dominio de la función. b. etermine la ecuación de la curva de nivel para k = 2 y grafíquela. Solución: a.

x  y2  2  0 yx0

Dom f  x; y   R 2 / x  y 2  2 , y  x




y

K=2

2

1

x

b.

k  2  f  x, y  

x  y2...