Calculo 4

UNIVERSIDAD PERUANA
LOS ANDES
FACULTAD DE INGENIERÍA

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 d2 y 

  cos x d y  sen x
 d x2 
dx



Ing. Hélar Véliz Fernández
2012

ANÁLISIS MATEMÁTICO III

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Ing. Hélar Véliz Fernández

TEORÍA BÁSICA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
En el estudio de fenómenos reales en los que se analizan un
cambio

o

una

variación,

aparecen

ecuaciones

querelacionan

determinadas funciones y sus derivadas. A este tipo de ecuaciones se les
denomina ecuaciones diferenciales.
La información que se obtiene a partir de estas ecuaciones nos
permite predecir cómo va a evolucionar el modelo que se está estudiando.
En particular, la solución de la ecuación diferencial es una función que
representa una cantidad cuya variación estamos analizando.
Estainformación se puede obtener de una manera explícita, cuando se
obtiene la solución de la ecuación diferencial analíticamente. Pero esto no
siempre es posible por ello recurrimos a otras técnicas como el cálculo
numérico, que nos permite obtener aproximaciones, o el estudio
cualitativo, que permite analizar el comportamiento de las soluciones
aunque la expresión de éstas no sea conocida.
Enparticular, los objetivos de este tema son los siguientes:


Ver cómo surgen las ecuaciones diferenciales al describir o
modelizar determinados problemas.



Clasificar las ecuaciones diferenciales.



Estudiar los diferentes tipos de soluciones que se pueden obtener.



Analizar la existencia y unicidad de las soluciones de las
ecuaciones diferenciales.
Definición de unaEcuación Diferencial

Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene las derivadas de
una función desconocida con respecto a una o más variables
independientes.

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Ejemplos:
a)

dy
3x 4
dx

b)

y 2 dx - x 2 dy  0

c)

m

d)

 d2 y 

  cos x d y  sen x
 d x2 
dx



d2 y
d t2

 mg  kdy
dt

3

e)

f)

2 ω
 x2
x2



2 ω
 x2

2 ω
y2
 y2



2 ω
 z2

2 ω
y2

 0 , donde   f x , y , z 

 z2

2 ω
 z2

 0 , donde   f x , y , z 

Orden y Grado de una Ecuación Diferencial
Orden: El orden de una ecuación diferencial ordinaria, está dado por el
orden mayor de su derivada
Grado: El grado de una ecuación diferencial estádado por el exponente
del mayor de su derivada.
Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales
Por la Cantidad de Variables Independientes
Ecuación Diferencial Ordinaria
Una ecuación diferencial es denominada diferencial ordinaria, si la función
desconocida depende solamente de una variable independiente.

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Ing. Hélar Véliz Fernández

Ecuación DiferencialParcial
Una ecuación diferencial se denomina ecuación diferencial parcial, si la
función desconocida depende de dos o más variables independientes.
Solución de una Ecuación Diferencial
Se llama solución o integral de la ecuación diferencial.
Tipos de Soluciones
Dada la ecuación diferencial de orden “n”:

F ( x , y , y' , y' ' , ..., y ( n ) )  0

()

Se tiene:
Solución General
Unasolución general de (  ) es el conjunto de todos o casi todos las
soluciones
Ejemplos:
Puede comprobarse que la función:

y  x 2  x  c , donde c es una constante arbitraria, es una solución
general de la ecuación diferencial y '  2 x  1  0 , ya que al dar valores a
la constante c encontramos infinitas soluciones.
Solución Particular
Una de las solución particular de (  ) es unasolución cualquiera que se
obtiene dando valores particulares a las constantes arbitrarias que
aparecen en la solución general.
Ejemplos:
La función y  x 2  x  4 , es una solución particular de la ecuación
diferencial: y '  2 x  1  0

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ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y
PRIMER GRADO
A las ecuaciones diferenciales de...