calculo actuarial

Páginas: 23 (5735 palabras) Publicado: 19 de mayo de 2014
RESUMEN DE LOS PRINCIPALES
CONCEPTOS Y FÓRMULAS
DE CÁLCULO ACTUARIAL

Índice
FUNCIONES DE SUPERVIVENCIA Y TABLAS DE MORTALIDAD
SEGUROS DE VIDA - VALOR PRESENTE ACTUARIAL DE LOS BENEFICIOS
PRIMAS DE BENEFICIOS
ANÁLISIS DE LA RESERVA DE BENEFICIOS
FUNCIONES DE VIDAS MÚLTIPLES
MODELOS DE DECREMENTOS MÚLTIPLES
RESERVA DE GASTOS
VALOR DE RESCATE
ASSET SHARE

Pág.
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1

FUNCIONES DE SUPERVIVENCIA Y TABLAS DE
Variables Aleatorias (tiempo futuro de vida)
T(x) ∼ T

Variable
Aleatoria

X

Concepto

K(x) ∼K

∼X −x X > x

Función de F ( x) = Pr( X ≤ x) =
X
distribución q
x 0
x≥0

Tiempo futuro de vida para (x)

Tiempo futuro devida en años
completos para (x)

F T (t ) = Pr(T ≤ t ) =
Pr( X − x ≤ t X > x) =

F K (k ) = Pr( K ≤ k ) =
Pr(T < k + 1) = Pr(T ≤ k + 1) =

Pr( x < X ≤ x + t )
=
P( X > x)
F X ( x + t ) − F X ( x)
= tqx
S X ( x)

k+1qx

f T ( t ) = FT ' ( t )= t p x * µ( x + t )

f K(k ) = Pr( K = k ) =
Pr(k ≤ T < k + 1) = Pr(k < T ≤ k + 1)

=

Función de

Esperanza

f X ( x) =F ' ( x)
s X ( x ) µ x = x p 0 µ( x )
o

e 0 = ∫ x ⋅ f X( x)dx =
0

=kpx - k+1px = kpxqx+k= k/qx
o

0

t

0

=∫

0

k =0

k =0

e x = ∑ k ⋅ f K(k ) = ∑ k +1 p x

e x = ∫ t ⋅ f T(t )dt =
p x dt =
l x +t dt T x
=
lx
lx

Función de supervivencia

s ( x) = s X ( x) = Pr( X > x) = 1 − FX ( x)
f X( x) = F´ X ( x) = − s´(x)

si x≥0Pr( X > x + t ) s X ( x + t )
=
Pr( X > x)
s X ( x)
k +1 P x = S K ( k ) = Pr( K > k ) = Pr(T ≥ k + 1) = Pr(T > k + 1)

t

p x = S T (t ) = Pr(T > t ) = Pr( X > x + t ) X > x) =

s '( x)
f (x)
d
µ( x ) = - X
= - [In( s X ( x ))] = X
sX ( x )
dx
SX(x)

x

sX ( x)= e

- ∫µ( s )ds
0

t

t

px= e

- ∫µ( x + s )ds
0

FUNCIONES DE SUPERVIVENCIAY TABLAS DE MORTALIDAD

2

Notación básica

l x +t
lx

t

Px=

1

q x =q x =

n/

1

dx
lx

q x = n /1 q x =

px=px=

s/t

d x+n
lx

qx=

l x +1,
t

lx

l x −l x + t
d
d + d + L + d x +t −1
= t x = x x +1
lx
lx
lx

l x + s −l x + s + t t d x + s
=
= s p x *⋅t q x + s
lx
lx

1= t p x + t q x

s +t

p x = p x ⋅ * p x +1 *L * p x + n −1 conn entero
l x =l 0⋅ p 0 ⋅ p 1 L p x −1 =l 0 ⋅(1 − q 0 ) ⋅ (1 −q 1 ) L (1 − q x −1 )
n

Ley

qx=

µ( x )

n

p x = s p x ⋅t p x + s ,

d x =l x −l x + n

s(x)

Restricciones

x
ω

0≤ x < ω

De Moivre (1729)

(ω-x)-1

Gompertz (1825)

Bcx

exp[-m(cx-1)]

B>0, c>1, x≥0, m=B/log c

Makeham (1860)

A+Bcx

exp[-Ax-m(cx-1)]

B>0,A≥-B, c>1,x≥0, m=B/log c

kx n

exp[-uxn+1]

Weibull (1939)

1-

k>0, n>0, x≥0, u =

k
n +1

Si x es entero, 0 < t < 1, 0 ≤ y ≤ 1, t+y ≤ 1. Tomar encuenta que para los renglones 2, 3 y 4 las
relaciones son válidas para t=0 y t=1.
Hiperbólica
Balducci
de muertes (DUM)
constante

1

(1-t)s(x) + ts(x+1)s(x)*e-µt
donde µ = -log(px)

tqx

t*qx

1-e-µt

tpx

1-t*qx

e-µt

px
1 − (1 − t ) * q x

yqx+t

y * qx
1 − (1 − t ) * q x

1-e-µy

y * qx
1 − (1 − y − t ) * q x

µ(x+t)

qx
1 − (1 − t ) * q x

µ

qx
1 − (1 − t ) * q x

qx

µe-µt

px qx
[1 − (1 − t ) * q x ] 2

s(x+t)

tpx

µ(x+t)

FUNCIONES DE SUPERVIVENCIA Y TABLAS DE MORTALIDAD

t
(1 − t )
+
s( x) s ( x + 1)
t * qx
1 − (1 − t ) * q x

3

Símbolo

(x)
[x]
X

T (x)
K (x)
S (x)
s (x)

µ (x)
µ x (t )
qx
t px

t

t\uqx
Tx

o

ex
ex
lx
n dx

ω

Nombre o descripción del concepto
Notación para una persona de edad x
Edad, u otro estatus, al momento de selección
Variable aleatoria de edad a la muerte (de un recién nacido)
Variable aleatoria del...

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