calculo actuarial

RESUMEN DE LOS PRINCIPALES
CONCEPTOS Y FÓRMULAS
DE CÁLCULO ACTUARIAL

Índice
FUNCIONES DE SUPERVIVENCIA Y TABLAS DE MORTALIDAD
SEGUROS DE VIDA - VALOR PRESENTE ACTUARIAL DE LOS BENEFICIOS
ANUALIDADES CONTIGENTES
PRIMAS DE BENEFICIOS
ANÁLISIS DE LA RESERVA DE BENEFICIOS
FUNCIONES DE VIDAS MÚLTIPLES
MODELOS DE DECREMENTOS MÚLTIPLES
RESERVA DE GASTOS
VALOR DE RESCATE
SISTEMASMODIFICADOS DE RESERVAS
ASSET SHARE

Pág.
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1

FUNCIONES DE SUPERVIVENCIA Y TABLAS DE
MORTALIDAD
Variables Aleatorias (tiempo futuro de vida)
T(x) ∼ T

Variable
Aleatoria

X

Concepto

Edad a la muerte

K(x) ∼K

∼X −x X > x

Función de F ( x) = Pr( X ≤ x) =
X
distribución q
x 0
x≥0

Tiempo futuro de vida para (x)

Tiempo futuro devida en años
completos para (x)

F T (t ) = Pr(T ≤ t ) =
Pr( X − x ≤ t X > x) =

F K (k ) = Pr( K ≤ k ) =
Pr(T < k + 1) = Pr(T ≤ k + 1) =

Pr( x < X ≤ x + t )
=
P( X > x)
F X ( x + t ) − F X ( x)
= tqx
S X ( x)

k+1qx

f T ( t ) = FT ' ( t )= t p x * µ( x + t )

f K(k ) = Pr( K = k ) =
Pr(k ≤ T < k + 1) = Pr(k < T ≤ k + 1)

=

Función de
densidad

Esperanza

f X ( x) =F ' ( x)
s X ( x ) µ x = x p 0 µ( x )
o

∞

e 0 = ∫ x ⋅ f X( x)dx =
0

=kpx - k+1px = kpxqx+k= k/qx
o

∞

∫

0
∞

t

0

=∫

∞

0

∞

k =0

∞

k =0

e x = ∑ k ⋅ f K(k ) = ∑ k +1 p x

e x = ∫ t ⋅ f T(t )dt =
p x dt =
l x +t dt T x
=
lx
lx

Función de supervivencia

s ( x) = s X ( x) = Pr( X > x) = 1 − FX ( x)
f X( x) = F´ X ( x) = − s´(x)

si x≥0Pr( X > x + t ) s X ( x + t )
=
Pr( X > x)
s X ( x)
k +1 P x = S K ( k ) = Pr( K > k ) = Pr(T ≥ k + 1) = Pr(T > k + 1)

t

p x = S T (t ) = Pr(T > t ) = Pr( X > x + t ) X > x) =

Fuerza de mortalidad

s '( x)
f (x)
d
µ( x ) = - X
= - [In( s X ( x ))] = X
sX ( x )
dx
SX(x)

x

sX ( x)= e

- ∫µ( s )ds
0

t

t

px= e

- ∫µ( x + s )ds
0

FUNCIONES DE SUPERVIVENCIAY TABLAS DE MORTALIDAD

2

Notación básica

l x +t
lx

t

Px=

1

q x =q x =

n/

1

dx
lx

q x = n /1 q x =

px=px=

s/t

d x+n
lx

qx=

l x +1,
t

lx

l x −l x + t
d
d + d + L + d x +t −1
= t x = x x +1
lx
lx
lx

l x + s −l x + s + t t d x + s
=
= s p x *⋅t q x + s
lx
lx

1= t p x + t q x

s +t

p x = p x ⋅ * p x +1 *L * p x + n −1 conn entero
l x =l 0⋅ p 0 ⋅ p 1 L p x −1 =l 0 ⋅(1 − q 0 ) ⋅ (1 −q 1 ) L (1 − q x −1 )
n

Leyes de Mortalidad
Ley

qx=

µ( x )

n

p x = s p x ⋅t p x + s ,

d x =l x −l x + n

s(x)

Restricciones

x
ω

0≤ x < ω

De Moivre (1729)

(ω-x)-1

Gompertz (1825)

Bcx

exp[-m(cx-1)]

B>0, c>1, x≥0, m=B/log c

Makeham (1860)

A+Bcx

exp[-Ax-m(cx-1)]

B>0,A≥-B, c>1,x≥0, m=B/log c

kx n

exp[-uxn+1]

Weibull (1939)

1-

k>0, n>0, x≥0, u =

k
n +1

Supuestos para edades fraccionadas
Si x es entero, 0 < t < 1, 0 ≤ y ≤ 1, t+y ≤ 1. Tomar encuenta que para los renglones 2, 3 y 4 las
relaciones son válidas para t=0 y t=1.
Hiperbólica
Distribución uniforme Fuerza de mortalidad
Balducci
de muertes (DUM)
constante

1

(1-t)s(x) + ts(x+1)s(x)*e-µt
donde µ = -log(px)

tqx

t*qx

1-e-µt

tpx

1-t*qx

e-µt

px
1 − (1 − t ) * q x

yqx+t

y * qx
1 − (1 − t ) * q x

1-e-µy

y * qx
1 − (1 − y − t ) * q x

µ(x+t)

qx
1 − (1 − t ) * q x

µ

qx
1 − (1 − t ) * q x

qx

µe-µt

px qx
[1 − (1 − t ) * q x ] 2

s(x+t)

tpx

µ(x+t)

FUNCIONES DE SUPERVIVENCIA Y TABLAS DE MORTALIDAD

t
(1 − t )
+
s( x) s ( x + 1)
t * qx
1 − (1 − t ) * q x

3

Símbolo

(x)
[x]
X

T (x)
K (x)
S (x)
s (x)

µ (x)
µ x (t )
qx
t px

t

t\uqx
Tx

o

ex
ex
lx
n dx

ω

Nombre o descripción del concepto
Notación para una persona de edad x
Edad, u otro estatus, al momento de selección
Variable aleatoria de edad a la muerte (de un recién nacido)
Variable aleatoria del...