Calculo Cap09

Cap´ıtulo

9

´
Series numericas

Aquiles alcanzó a la tortuga y se sentó confortablemente sobre su espalda. ¿De modo que has llegado al final de nuestra
carrera?– dijo la tortuga –. ¿A pesar de que realmente consiste en una serie infinita de distancias? Yo creía que algún necio
había demostrado que esto no podía hacerse.

Lewis Carroll

9.1. Conceptos básicos
En este capítulo continuamos con elestudio de las sucesiones empezado en el Capítulo 7.
La novedad es que ahora vamos a considerar un tipo particular de sucesiones que, sin exagerar,
puede afirmarse que son las más útiles del Análisis. Estas sucesiones se llaman series.
En lo que sigue vamos a considerar sucesiones de números reales por lo que evitaremos
esa innecesaria precisión.
9.1 Definición. Dada una sucesión fan g, podemosformar a partir de ella otra sucesión, fAn g,
cuyos términos se obtienen sumando consecutivamente los términos de fan g, es decir:
A1 D a1 ; A2 D a1 C a2 ; A3 D a1 C a2 C a3 ; : : : ; An D a1 C a2 C


C an ; : : :
o, si te gusta más, A1 Da1 y, para todo n 2 N, AnC1 DAn CanC1 . La sucesión fAn g así definida
se llama serie de término general an o serie definida por la sucesión fan g, y larepresentaremos
n
X
X
P
ak se llama suma parcial de orden
por
an o, más sencillamente, an . El número An D
n>1

n de la serie

kD1

P

an .

518

Conceptos básicos

519

Debe quedar claro desde ahora que una serie es una sucesión cuyos términos se obtienen sumando consecutivamente los términos de otra sucesión. Ni que decir tiene que, siendo
las series sucesiones, los conceptos y resultados vistos parasucesiones conservan su misma
significación cuando se aplican a series. En particular, es innecesario volver a definir qué se
entiende cuando se dice que una serie es “acotada”, “convergente” o “positivamente divergente”.
1
X
P
Si una serie
an es convergente se usa el símbolo
an para representar el límite de la
nD1
1
X

serie que suele llamarse suma de la serie. Naturalmente,

an es el númerodefinido por:

nD1

1
X

nD1

an D lKımfAn g D lKım

n!1

n
X

ak :

kD1

P
Por tanto, la igualdad 1
S quiere decirˇ que para todo " > 0, hay un m" 2 N tal que
nD1 an D
ˇP
n
ˇ
para todo n > m" se verifica que
S ˇ < ".
kD1 ak

9.2 Ejemplo (Serie geométrica). Dado un número x, la sucesión f1 C x C x 2 C


C x n g se
llama serie geométrica de razón x.˚ Observa que dicha serie« se obtiene sumandoconsecutivamente los términos de la sucesión 1; x; x 2 ; x 3 ; : : : ; x n ; : : : . Es costumbre representar la serie
X
geométrica de razón x con el símbolo
x n . Dicha serie converge si, y sólo si, jxj < 1, en
n>0

cuyo caso se verifica que:

1
X

nD0

xn D

1
1

x

:

(9.1)

Todas las afirmaciones hechas se deducen de que si x ¤ 1, se tiene:
n
X

kD0

xk D 1 C x C x2 C


C xn D

x nC1
D 0 yobtenemos que:
n!1 1
x
1
n
X
X
1
x n D lKım
xk D
n!1
1 x

1
1

x

x nC1
:
1 x

(9.2)

Si jxj < 1 entonces lKım

nD0

.jxj < 1/:

kD0

Si jxj > 1 o xD 1 entonces la sucesión fx n g no converge; y si xD1 entonces
tampoco converge.

Pn

k
kD0 1 DnC1

Te recuerdo que ya habíamos estudiado la serie geométrica en el ejemplo 7.5.



9.3 Ejemplo (Serie armónica). La serie de término general 1=n, es decir,la sucesión fHn g
n
X
X1
1
donde Hn D
, que simbólicamente representamos por
, se llama serie armónica.
k
n
n>1
kD1
Se verifica que la serie armónica diverge positivamente:
1
X
1
D lKım f1 C 1=2 C


C 1=ng D C∞:
n!1
n

nD1

Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático

Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral

Conceptos básicos

520

En efecto, para todo n 2 N tenemos que
nlog n D

1

n 1 j C1

X
1
dx D
x

j D1 j

n 1 j C1

X
1
dx 6
x

j D1 j

n 1

X1
1
1
1
1
dx D
< 1 C C


C
C
j
j
2
n 1
n
j D1

y por tanto
1
X
1
lKım f1 C 1=2 C


C 1=ng > lKım log n D C∞ ÷
D C∞:
n!1
n!1
n
nD1

Este resultado es también consecuencia directa de que, según vimos en el ejercicio resuelto
161, la serie armónica es asintóticamente equivalente a la sucesión flog ng:
1 C 1=2 C 1=3 C...