calculo de la fuerza gravitacional ejercida por una varilla

C´lculo de la fuerza gravitacional ejercida por una varilla de masa
a
M en forma de par´bola y = x2 sobre una part´
a
ıcula de masa m colocada en (0, a)

Al observar la figura nos damos cuentaque los componentes horizontales de la
fuerza deben cancelarse. Tambi´n sabemos que dM = M dx/L, donde L es la
e
longitud a lo largo de la varilla.
El diferencial de segmento de arco en general es1 + (y )2 dx

ds =

(1)

donde y = dy/dx. Para nuestro caso y = 2x. As´ que
ı
b

1 + (2x)2 dx

L=

(2)

−b

√
de donde obtenemos que L = b 1 + 4b2 + 1 ArcSinh2b . Para no andarcar2
gando con la expresi´n anterior lo dejo expresado como L simplemente.
o
La fuerza gravitacional entre la part´
ıcula de masa m y la varilla est´ dada
a
por

F =−

GmM dx
sin θ
L r2(3)

donde θ es el ´ngulo que se muestra en la figura y r es la distancia desde
a
m hasta un elemento dM y est´ dada por
a

r=

x2 + ( a − x2 ) 2
1

(4)

de acuerdo a la figura mostrada.Note que el sin θ lo podemos escribir como
a − x2

sin θ =

x2 + (a − x2 )2

(5)

es decir, cateto opuesto entre hipotenusa.
Por lo anterior, la ecuaci´n (1), ya con todo, queda
o

F =−b

GmM
L

−b

(a − x2 )
dx
(x2 + (a − x2 )2 )3/2

(6)

que sin duda alguna ser´ una tarea dif´ resolverla. Podemos tomar el camino
a
ıcil
sencillo: asignar valores para a y para b.Por ejemplo, sea b = 2, entonces
a = b2 = 4. De esta forma, la integral es

(4−x2 )
2
−2 (x2 +(4−x2 )2 )3/2 dx

F = − GmM
L

recordemos que resolver una integral de forma num´rica es siemprem´s f´cil que
e
aa
GmM
hacerlo anal´
ıtiamente. Entonces L = 9.294 y F = − 0.365294 = −0.039GmM ,
9.
omitiendo las unidades.
Para nuestros fines lo importante es llegar a la integral, noresolverla. Pero
en caso de tener sembrada la duda ´sto es lo que hacemos: Tomamos el intee
grando de la ecuaci´n (6) y lo desarrollamos en serie (cosa que quiz´ no hayan
o
a
cubierto aun en sus...