Calculo diferencial e integral

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Función: Es un conjunto de parejas ordenadas ( x , y ); en donde todos los valores posibles de “ x “ se llama dominio de la función y todos los valores posibles de “ y “ se llama rango de la función.

Símbolo de función y = f ( x )

Se lee: “ y igual a f de x “

“ x “ es variable independiente.

“ y “ es variable dependiente.

Ejemplo:

Y= f ( x ) = x 2 – 2 x
Encontrar Dominio de la función
Encontrar Rango de la función
|x |-2 -1 0 1 2 3 |
|y | 8 3 0 -1 0 3 |

y = ( -2 ) 2 –2 ( -2 ) = 4 + 4 = 8
y = ( -1 ) 2 – 2 ( -1 ) = 3
y = ( 0 ) 2 – 2 ( 0 ) = 0 – 0 = 0
y = ( 1 ) 2 – 2 ( 1 ) = 1 – 2 = -1
y = ( 2 ) 2 - 2 ( 2 ) = 0
y = ( 3) 2 – 2 ( 3 ) = 9 – 6 = 3

[pic] Df = ( - ∞ , ∞ )
Rf = [ -1 , ∞ )

Operaciones con funciones

Dado y = f ( x ) = x 2 - 2 x – 3 encontrar:

a) y = f ( -2 ) = ( -2 ) 2 –2 ( -2 ) –3 = 4 + 4 – 3 = 5

b) y = f ( 3 ) = ( 3 ) 2 –2 ( 3 ) – 3 = 9 – 6 – 3 = 0
f ( -1 ) (-1) 2 – 2 ( -1 )-3 1 + 2 – 3 0c) y = f ( 1 ) – f ( 2 ) = [ ( 1 ) 2 – 2 ( 1 ) – 3 ] [ ( -2 ) 2 – 2 ( -2 ) – 3 ] = [1–2–3]

[ 4 + 4 - 3 ] = [ -4 ] [ 5 ] = 20

d) y = f ( x + h ) = ( x + h ) 2 - 2 ( x + h ) – 3 = x 2 + 2 x h + h 2 – 2 x - 2h –3

e) y = f ( x + h ) = f ( x ) = x 2 + 2 x h + h 2 – 2 x – 3 – ( x 2 – 2 x – 3 )

= 2 x h + h 2 – 2 h

f) y = f ( x + h ) – f ( x ) =2 x h + h 2 – 2 h = 2 x + h – 2
h h

LIMITES

1) Lim. 3 x 2 – 2 x = 3 ( 3 ) 2 – 2 ( 3 ) = 2 ( 9 ) – 6 = 27 – 6 = 21

x → 3
( lim 3 x 2 – 2 x = 21
x → 3

2) Lim x – 4 = 4 – 4 = 0 = 0 x → 4
2x 2( 4 ) 8

3) Lim 3 x = 3 ( 1 ) = 3 = ∞
x → 1 x – 1 1 – 1 04) Lim x 2 – 4 = ( 2 ) 2 – 4 = 4 – 4 = 0 = 0
x → -2 x 2 + 5 x + 6 ( - 2 ) 2 + 5 ( -2 ) + 6 4 – 10 -+ 6 -6 – 6
indeterminación
por lo tanto se factoriza

Lim ( x + 2 ) ( x – 2 ) = lim x – 2 = - 2 –2_ = -4 =
x → -2 ( x + 3 ) ( x + 2 ) x →-2 x + 3 -2 + 3 1

5) Lim√ x + 1 - 3 = √ 8 + 1 - 3 = 0 indeterminación
x → 8 x – 8 8 – 8 0

Multiplicar por su conjugado.

Lim √ x – 1 - 3 * √ x + 1 + 3 = lim ( √ x + 1 ) 2 - ( 3 ) 2
x →8 x – 8 √ x + 1 + 3 x → 8 ( x + 8 ) ( √ x + 1 +3 )

= lim x + 1 – 9_______ = lim x – 8________ = lim1___
x → 8 ( x – 8 ) ( √ x + 1 + 3 ) x → 8 ( x – 8 ) ( √ x + 1 +3 ) x → 8 √x +1+3

= 1____ = 1__ = 1_
√ 8 + 1 + 3 3 + 3 6

6) Lim x 3 – 2 x 2 + 5 x = lim x 3 – 2 x 2 + 5 x
x → ∞ x + 3 x 2 + 4 x 3 x → ∞__ x 3____________ =
x + 3 x 2 + 4 x 3
x 3

1 - 2 + 5_= lim x x 2___ = lim 1 =
x → ∞ 1 + 3 + 4 x → ∞ 4
x 2 x

DERIVADA

La “derivada” es la pendiente tangente a una curva dada.
[pic]
Matemáticamente.

Símbolo de la derivada.

y´ = D x y = lim f ( x + ∆ x ) – f ( x )
∆x → 0 ∆ x

Ejemplo:

Derivar mediante de la definición

y = f (x ) = x 2
D x y = lim ( x + ∆ x ) 2 - x 2
∆ x → 0 ∆ x

D x y = lim x 2 + 2 x ∆ x + D x 2 – x 2 = lim 2 x ∆ x + ∆ x 2
∆ x → 0 ∆ x ∆ x → 0 ∆ x

= lim 2 x + ∆ x =
∆ x → 0

FORMULAS DE DERIVADAS

1) D x c = 0

2) D x x = 1

3) D x x n = n x...