Calculo integral en matlab

´ ´ Practica 3: Calculo Integral con MatLab Curso 2010-2011

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Introducci´n o

Una de los paquetes m´s utiles para el c´lculo con MatLab lo constituye Symbolic Math Toolbox, a ´ a que permite realizar c´lculo simb´lico avanzado, es decir, se puede prescindir de asignar un n´mero a o u a una variable y tratarla como una constante gen´rica. e Esta herramienta disponible en MatLab nospermitir realizar operaciones de integraci´n simb´lica o o como calcular integrales definidas, impropias o calcular ´reas, por ejemplo. a

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C´lculo de primitivas a

El c´lculo de primitivas con MatLab es muy sencillo. La integraci´n simb´lica se lleva a cabo a o o utilizando el comando int, empleando las sintaxis int(S) o int(S, var) donde: • S puede ser una expresi´n simb´lica o el nombrede una expresi´n simb´lica. o o o o o ´ o a a • En el comando int(S), si la expresi´n contiene una unica variable simb´lica, el c´lculo se llevar´ a cabo con respecto a esa variable. Si la expresi´n contiene m´s de una variable, la integraci´n o a o se realizar´ respecto a la variable simb´lica por defecto (x). a o o a • En el comando int(S, var), la integraci´n se realizar´ con respecto a lavariable var. Esta sintaxis se utiliza para integrar expresiones con m´s de una variable simb´lica. a o Del mismo modo que la derivaci´n, la integraci´n se puede extender a vectores y matrices. o o Ejemplo.- Calcula (2cos(x) − 6x)dx. Soluci´n: o >> syms x; >> S = 2 ∗ cos(x) − 6 ∗ x; >> int(S) ans = 2 ∗ sin(x) − 3 ∗ x ∧ 2 MatLab no incluye la constante de integraci´n que se debe tener en cuenta en elc´lculo de o a primitivas. Nota 2.1 Si x no est´ definida como una variable simb´lica, utilizaremos la siguiente sintaxis: a o int( S , x ) En el caso del ejemplo anterior, tendr´amos lo siguiente: ı

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>> int( 2 ∗ cos(x) − 6 ∗ x ) ans = 2 ∗ sin(x) − 3 ∗ x ∧ 2 O bien: >> int( 2 ∗ cos(x) − 6 ∗ x , x ) ans = 2 ∗ sin(x) − 3 ∗ x ∧ 2 Sin embargo, esta versi´n de Matlab nos da un aviso como el quesigue: o Warning. The method char/int will be removed in a future relase. Use sym/int instead. Ejemplo.- Calcula Soluci´n: o >> syms x; >> int((x + 1)/((x ∧ 2 + 1) ∗ (x ∧ 2 + 4)), x) ans = log(x−i)∗(1/6−i/6)+log(x+i)∗(i/6+1/6)+log(x−2∗i)∗(i/12−1/6)+log(x+2∗i)∗(i/12−1/6) Ejercicios: 1. Calcula I = 2. Calcula 3. Calcula e4x dx.
x+1 dx. (x2 +1)(x2 +4)

x5 logxdx. cos(sen(x))dx.

Matlab permiteintroducir par´metros en las integrales y, en consecuencia, podremos trabajar a con ellos como si fueran constantes. Veamos un ejemplo. Ejemplo .- Calcula Soluci´n: o >> syms a b x; >> int(sin(a ∗ x) ∗ cos(b ∗ x), x) ans = −(b ∗ sin(a ∗ x) ∗ sin(b ∗ x) + a ∗ cos(a ∗ x) ∗ cos(b ∗ x))/(a ∧ 2 − b ∧ 2) sen(ax)cos(bx)dx.

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Nota 2.2 En los dos ejemplos anteriores, podr´amos prescindir del segundoargumento en el coı mando int y en ese caso, la integraci´ se realizar´a con respecto a la variable simb´lica por defecto n ı o x.

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Integrales definidas

Las integrales definidas tambi´n son conocidas como integrales propias. Se dice que una integral es e propia si el integrando est´ definido y es finito en un intervalo cerrado y acotado, cuyos extremos a son los l´ ımites de integraci´n.o Para calcular integrales definidas se utilizan estas variantes del comando int que vimos en la primera secci´n: o int(S, a, b) o int(S, var, a, b)

donde: • S puede ser una expresi´n simb´lica o el nombre de una expresi´n simb´lica. o o o o • a y b son los l´ ımites de integraci´n. Pueden ser escalares o variables simb´licas. o o • El comando int(S, a, b) realizar´ la integral, si S solodepende de una variable simb´lica, con a o respecto a dicha variable simb´lica o, en caso de depender de m´s de una, lo har´ con respecto o a a a la variable simb´lica por defecto (x). o • El comando int(S, var, a, b) realizar´ la integral con respecto a la variable simb´lica var. a o Ejemplo.- Calcula la integral definida Soluci´n: o >> syms y; >> int(sin(y) − 5 ∗ y ∧ 2, 0, pi) ans = 2 − (5 ∗ pi ∧...