Calculo

 
 
Derivadas de orden superior
Si [pic]es una función diferenciable, es posible considerar su función derivada como:
[pic]para [pic]en el dominio [pic]de [pic].
Si para algunos valores [pic]existe el [pic]se dice que existe la segunda derivada de la función [pic]que se denota por [pic]o [pic], que equivale a [pic]. O sea, la segunda derivada de la función [pic]se obtiene derivando laprimera derivada de la función.
Ejemplos:
1. Si [pic]entonces:
[pic]y
[pic]
2. Si [pic]entonces:
[pic]y derivando nuevamente
[pic]
[pic]
[pic]
Por tanto [pic]
Similarmente podemos decir que la derivada de [pic]respecto a "x" es la tercera derivada de [pic]respecto a "x" que se denota [pic]o [pic].
La derivada de la tercera derivada es la cuartaderivada [pic]y así podríamos continuar sucesivamente hasta la enésima derivada de [pic]que se denota por [pic]o [pic]. Generalmente se habla del orden de la derivada; así la primera derivada es la derivada de primer orden, la segunda es la de segundo orden, la enésima derivada es la derivada de orden n.
Ejemplos:
1. Determinar [pic], donde [pic]
Solución:
Obtenemos primero[pic]
[pic]
Luego:
[pic]y se tiene que:
[pic]
2. Determinar [pic]
Solución:
Se tiene que:
[pic]
[pic]
 
Por último:
[pic]
 
3. Si [pic]determinar [pic].
En este caso debemos dar una forma general para la derivada de orden n, partiendo de las regularidades que se presentan en las primeras derivadas quecalculemos.
Así:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] 
[pic]
 
.
.
[pic]    para      [pic]
.
4. Obtener [pic].
Solución:
Ejercicio para el estudiante
Una aplicación de la segunda derivada
Anteriormente hemos estudiado que si [pic]nos indica la distancia de una partícula al origen en un tiempo [pic], entonces[pic]es la velocidad en el tiempo [pic].
Al calcular la derivada de la velocidad respecto al tiempo, es decir, al calcular [pic]se obtiene la aceleración instantánea en el tiempo [pic]. Si denotamos esta aceleración por [pic]se tiene que [pic], es decir, la aceleración es la segunda derivada de la distancia respecto al tiempo.
Ejemplo:
Sea [pic], la ecuación que determina la distancia en el tiempo[pic](en segundos) de una partícula al origen en un movimiento rectilíneo. Determinar el tiempo, la distancia, y la velocidad en cada instante en que la aceleración es nula.

Solución:
Si [pic]entonces la velocidad, [pic]está dada por:
[pic]
Averigüemos el tiempo en que la aceleración se hace cero.
[pic]
Luego, la distancia recorrida cuando [pic]es [pic]metros y la velocidad en [pic]es [pic].Otros ejemplos con la segunda derivada
Si [pic]es la ecuación de una curva, se sabe que [pic]determina la pendiente de la recta tangente a la gráfica de [pic]en un punto [pic].
Se tiene que [pic]es la razón de cambio de la pendiente de la recta tangente respecto a [pic]. Más adelante utilizaremos la segunda derivada de una función para determinar los extremos relativos de una función y paradeterminar la concavidad de la gráfica de una función.
Ejemplos:
1. Determinar la pendiente de la recta tangente en cada punto de la gráfica de la curva con ecuación [pic], en los que la razón de cambio de la pendiente es cero.
Solución:
Se tiene que [pic]da la pendiente de la recta tangente a la curva.
Además [pic]determina la razón de cambio de la pendiente.Debemos averiguar los valores de [pic]en los que esta razón de cambio es cero;
Entonces [pic]
Luego, cuando [pic]la pendiente es [pic]y cuando [pic]la pendiente [pic]también es cero.
2. Determinar la razón de cambio de la pendiente en [pic]para la curva con ecuación [pic].

Solución:
La razón de cambio de la pendiente está dada por la segunda derivada de la función,...