Calculo

Taller N◦ 1 Cálculo Diferencial
Semestre 02 de 2009
Nota al estudiante: Se pretende que usted haga todos los ejercicios, aunque el monitor no alcance
a hacerlos todos durante el taller. Observe que hay ejercicios marcados Taller A y otros Taller B, esto
significa que serán realizados en distintos talleres durante la misma semana, los cuales serán claramente
identificados de la misma forma.Se recomienda la asistencia a ambos tipos de talleres.
1. Taller A. En la figura se proporcionan las gráficas de dos funciones f y g. Se sabe además que
la función g es par.
(a) Dé los valores de f (−1) y g (1).
(b) ¿Para cuáles valores (aproximados) de x se tiene f (x) = g (x)?
(c) Estime la solución de la ecuación f (x) = 2.
(d) Estime la solución de la ecuación g (x) = 2.
(e) ¿En cuálesintervalos es f decreciente?
(f) Dé el dominio y el rango de f .
(g) Dé el dominio y el rango de g.
2. Hallar el dominio de las siguientes funciones:
(a) Taller A. f (x) = √4 x2 + x
(b) Taller B. h(x) = x
x+5. Para esta función halle h(2); h(2 + t); h(x + t); h(x+t)−h(x)
t .
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3. Taller A. Determine si f es par, impar o ninguna de las dos:
(a) f (x) =
x3
x+ 1
.
(b) f (x) = x2 |x| .(c) f (x) = 1+3x2 − x4.
En cada caso justifique su respuesta.
4. Taller B. Teniendo en cuenta las gráficas siguientes determine cuáles de ellas representan probablemente
funciones pares, impares o ninguna de las dos. Si hay alguna gráfica que no representa
una función compruebe esto con la prueba de la recta vertical.
5. Taller B.
(a) ¿Por qué una función f no constante no puede tenersimetría respecto al eje x?
(b) Si el punto (−1, 2) está sobre la gráfica de una función par, ¿cuál otro punto también debe
estar sobre la gráfica de la función f ?
(c) Si el punto (−1, 2) está sobre la gráfica de una función impar, ¿cuál otro punto también
debe estar sobre la gráfica de la función f ?
(d) Si una función f tiene de dominio R y se muestra una parte de su gráfica en el siguientedibujo.
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i. Dibuje la gráfica de la función f, si se sabe que f es par.
ii. Dibuje la gráfica de la función f, si se sabe que f es impar.
(e) Si sumamos dos funciones pares, la función resultante será necesariamente par?
(f) Si multiplicamos una función par con una impar qué podremos decir de la función resultante?
6. Taller A. Sean f y g las funciones definidas por
f (x) =
½
−x4 − 2x si −2 ≤x ≤ 0
x4 − 2x si 0 < x ≤ 2
y g (x) = |x| + x2
cos x
.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
a. f y g son impares b. f es par y g es impar
c. f y g son pares d. f es impar y g es par
7. Taller A. Un rectángulo tiene un área de 36m2. Exprese su perímetro P como función de la
longitud de uno de sus lados. Determine el dominio de la función, P, resultante.
8. Taller B. Un trozode alambre de 20 metros de largo se corta en dos pedazos. Uno de ellos
de tamaño x se dobla en forma de triángulo rectángulo con ángulos agudos de 450 y el resto se
dobla en forma de un cuadrado.
(a) Haga un dibujo que exprese lo mejor posible la situación descrita.
(b) Encuentre una fórmula que exprese el cateto del triángulo en términos de x.
(c) Encuentre una fórmula que exprese la suma Ade las áreas encerradas por el triángulo y
por el cuadrado en términos de x.
(d) Halle el dominio de la función A para que el problema tenga sentido.
9. Taller A. Debe construirse una caja con su parte superior abierta a partir de un trozo rectangular
de cartón que tiene las dimensiones de 12 pulgadas por 20 pulgadas, recortando cuadrados iguales
de lado x en cada una de las esquinas y, acontinuación, doblando los lados. Exprese el volumen
V de la caja como función de x, para conseguir esto haga los siguientes pasos:
(a) Haga un dibujo que represente la situación descrita en el problema.
(b) Defina las variables.
(c) Encuentre una fórmula para el volumen.
10. Taller B. Se mide la distancia de un mensajero, que se desplaza en bicicleta, desde su lugar
de trabajo y se...