Calculo

EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Y SUS APLICACIONES

PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO:


SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO:


INTEGRACIÓN APROXIMADA: REGLA TRAPECIAL Y REGLA DE SIMPSON

COMO VIMOS, EL VALOR EXACTO DE LA INTEGRAL DEFINIDAפ[A,B] F(X)∫ DX ES LA MEDIDA DE LA SUPERFICIE LI-MITADA POR LA CURVA Y = F(X), EL EJE DE LAS ABSCISAS Y LAS RECTAS X = A Y X = B . UNVALOR APROXI¬MADO DE TAL ÁREA SE OBTUVO SUMANDO RECTÁNGULOS, SEGÚN LAS SUMAS DE RIEMANN. DE LA MISMA FORMA, TAMBIÉN PUEDE ENCONTRARSE UNA APROXIMACIÓN DE LA MISMA ÁREA SUMANDO TRAPECIOS (RE¬GLA TRAPECIAL) Y UNA APROXIMACIÓN AÚN MEJOR SUMANDO ÁREAS BAJO ARCOS DE PARÁBOLAS (REGLA DE SIMPSON).
VEAMOS:
VALOR APROXIMADO DEL ÁREA BAJO LA CURVA SUMANDO TRAPECIOS.
OBSERVA LA SIGUIENTE FIGURA.

ELÁREA DE LA REGIÓN SOMBREADA A PUEDE APROXIMARSE SUMANDO LAS ÁREAS DE N TRAPECIOS MARCA¬DOS SOBRE EL INTERVALO, COMO SE MUESTRA A CONTINUACIÓN.


A PARTIR DE ESTA FIGURA, LA REGLA DE LOS TRAPECIOS PARA EVALUAR A, SE ESPECIFICA DE LA SIGUIENTE MANERA:
SE DIVIDE EL INTERVALO [A, B] EN N SUBINTERVALOS IGUALES [XK–1, XK] DONDE K = 1, 2, 3, …, N Y A PARTIR DE ESTA FIGURA, LA REGLA DE LOS TRAPECIOSPARA EVALUAR A, SE ESPECIFICA DE LA SIGUIENTE MANERA:

ÁREA Y ÁREA ENTRE DOS GRÁFICAS

YA CONOCES VARIOS PROCEDIMIENTOS PARA EVALUAR APROXIMADAMENTE LA INTEGRAL DEFINIDA:
∫_a^b▒f(x)dx
A PARTIR DE APROXIMAR EL ÁREA ENTRE LA CURVA Y = F(X), EL EJE DE LAS X Y LAS RECTAS X = A Y X = B, ÉS¬TOS SON, POR LÍMITE DE SUMAS DE RIEMANN, FÓRMULA DE TRAPECIOS Y FÓRMULA DE SIMPSON. ASÍ TAMBIÉN, HAS APLICADOEL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO PARA EVALUAR INTEGRALES DEFINIDAS, OBTENIENDO CON ÉSTE UN RESULTADO EXACTO. SIN EMBARGO, AÚN NO HAS DETERMINADO ESPECÍFICAMENTE LAS ÁREAS CON TAN IMPORTANTE TEOREMA, APLICACIÓN QUE SE HA RESERVADO PARA ABORDARLA EN ESTE MO¬MENTO.
PARA HALLAR EL ÁREA LIMITADA POR LA CURVA DE UNA FUNCIÓN CONTINUA Y = F(X) EN UN INTERVALO [A, B], EL EJE DE LAS ABSCISAS Y LASRECTAS X = A Y X = B APLICANDO EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO, DEBE CONSIDERARSE SI LAS FUNCIONES SON: NO NEGATIVAS (F(X)≥0),NO POSITIVAS (F(X9≤0), O BIEN, TO¬MAN VALORES TANTO POSITIVOS COMO NEGATIVOS Y CERO. ADEMÁS, CADA VEZ QUE SEA FACTIBLE, DEBE RE-PRESENTARSE GRÁFICAMENTE EL ÁREA CORRESPONDIENTE ANTES DE APLICAR EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO.
HALLAR EL ÁREA LIMITADA POR LA PARÁBOLA DEECUACIÓN Y = –X2, EL EJE X Y LAS RECTAS X = –2 Y X = 2.
SOLUCIÓN
REPRESENTAMOS EL ÁREA POR LA INTEGRAL DEFINIDA CORRESPONDIENTE, LA CUAL, PARA ESTE CASO ES:

A=-∫_(-2)^2▒〖-x〗^2 dx

DETERMINACION VOLÙMENS POR ELEMENTOS DE SECCION
CUANDO ANALIZAMOS EL MÉTODO DE LOS DISCOS PARA HALLAR EL VOLUMEN DE UN SÓLIDO, LLEGAMOS A LA FORMULA:
DONDE , ERA EL ÁREA DE LA SECCIÓN CIRCULAR Y X EL ESPESORDEL DISCO.
AHORA PODEMOS GENERALIZAR ESTE MÉTODO, PARA CALCULAR EL VOLUMEN DE SÓLIDOS CON FORMA ARBITRARIA, SI CONOCEMOS EL ÁREA DE UNA DE SUS SECCIONES. POR EJEMPLO SI A(X), REPRESENTA EL ÁREA DE UNA SECCIÓN EN X, PERPENDICULAR AL EJE X, ENTONCES EL VOLUMEN DEL SÓLIDO SE OBTENDRÁ INTEGRANDO A(X) CON RESPECTO A X.

GRÁFICA 10.
POR EJEMPLO EN LA GRÁFICA 10, ENCONTRAMOS UN SÓLIDO CUYASSECCIONES TRANSVERSALES SON TRIÁNGULOS, DE MANERA QUE SI CALCULAMOS EL ÁREA DE UNO DE ESOS TRIÁNGULOS DIFERENCIALES Y LA INTEGRAMOS CON RESPECTO A X, ENCONTRAMOS EL VOLUMEN TOTAL DEL SÓLIDO, ES DECIR:
Y DE ESTA MANERA PODEMOS ENCONTRAR, EL VOLUMEN DE CUALQUIER SÓLIDO, SIEMPRE QUE CONOZCAMOS UN ELEMENTO DIFERENCIAL Y LA FORMULA PARA HALLAR SU ÁREA.

SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

YA ESTÁ VISTO QUE LA INTEGRALDEFINIDA ES APLICABLE, CUANDO SE TRATA DE HALLAR ÁREAS, PERO ¿SERÁ APLICABLE PARA HALLAR VOLÚMENES FORMADOS POR ROTACIÓN DE UNA FUNCIÓN?, LA RESPUESTA A ESTA PREGUNTA ES SI, SI ES POSIBLE CALCULAR ESTOS VOLÚMENES, LLAMADOS VOLÚMENES DE REVOLUCIÓN, MEDIANTE INTEGRACIÓN DEFINIDA. MÁS ADELANTE Y EN EL TRANSCURSO DE ESTE TEMA, VEREMOS QUE EL CÁLCULO DEL VOLUMEN DE UN SÓLIDO, ES COMO UNA EXPANSIÓN...