calculo

CAPITULO 1
1.1 LIMITE DE UNA FUNCION

DEFINICION.- SEA F UNA FUNCION DEFINIDA EN TODO NUMERO DE ALGUN INTERVALO ABIERTO I, QUE CONTIENE A a, EXCEPTO POSIBLEMENTE EN EL NUMERRO a MISMO.
EL LÍMITE DE , CUANDO TIENDE a Q Y SE ESCRIBE:





SI EL SIGUIENTE ENUNCIADO ES VERDADERO:
DADA CUALQIER >0, SIN IMPORTAR CUAN PEQUEÑA SEA EXISTE UNA >0, TAL QUE:

SI 0> c=-3 y k=4Entonces
2.1 LA RECTA TANGENTE Y LA DERIVADA
SUPONGAMOS QUE LA FUNCIÓN F(x) ES CONTINUA EN ; ENTONCES, LA RECTA TANGENTE A LA GRAFICA DE F(x), EN EL PUNTO P[ x, f(x)] es:
1.- LA RECTA A TRAVES DE P, CUYA PENDIENTE SE DEFINE COMO

SI EL LIMITE EXISTE

2.- LA RECTA

Y


LA RECTA NORMAL DE UNA GRAFICA EN UN PUNTO DADO ES LA PERPENDICULAR A LA TANGENTE EN DICHO PUNTO Y POR ENDE ELPRODUCTO DE SUS PENDIENTES ES -1, ESTO ES
LA DERIVADA DE UNA FUNCION ES AQUELLA FUNCION, DENOTADA POR ,
CUYO VALOR EN UN NUMERO CUALQUIERA x DEL DOMINIO DE ESTA DADO POR:
, SI EL LÍMITE EXISTE OTRAS FORMAS DE DENOTAR LA DERIVADA SON:


EN CADA UNA DE LAS SIGUIENTES EJEMPLOS ENCUENTRE LA DERIVADA
1.-


=

2.-


=

3.- OBTENGA LAS ECUACIONES DELAS RECTAS TANGENTES Y NORMAL DE LA CURVA EN EL PUNTO DADO.
(3,2)
PARA DETEMINAR LA ECUACION DE CUALQUIER RECTA NECESITAMOS CONOCER COMO MINIMO UN PUNTO Y SU PENDIENTE. EN ESTE CASO YA NOS DAN EL PUNTO Y CALCULAMOS LA DERIVADA QUE ES LA PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE EN CUALQUIER PUNTO.






ESTA ES LA ECUACION DE LA PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE EN CUALQUIE PUNTO (x,y)
AHORAQUE ES LA PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE EN EL PUNTO (3,2)




LA PENDIENTE DE LA RECTA NORMAL SERA:

Y LA ECUACION

4.- OBTENGA UNA ECUACION DE LA RECTA TANGENTE A LA CURVA QUE SEA PERPENDICULAR A LA RECTA x-y=0

y=x LA PENDIENTE DE LA GUERRA DADA ES 1, Y DE LA RECTA TANGENTE ES -1

AHORA BIEN


LAS COORDENADAS DEL PUNTO SERAN5.-









6.-

PARA HALLAR LA DERIVADA DE ESTA FUNCION, PODEMOS HACERLA INDEPENDIENTEMENTE DE CADA TERMINO Y AL FINAL SUMARLOS ALTERNADAMENTE.
ASI:












AHORA y=x






2.2.- DIFERENCIABILIDAD Y CONTINUIDAD

La definición de continuidad ya se estudió en el capítulo 1, se entiende por diferenciabilidad de una función en unpunto, cuando en dicho punto se puede trazar una recta tangente a la curva. Por ejemplo en la función valor absoluto, su grafica siempre tendrá un punto de intersección de dos rectas, en dicho punto se dice que la función no es diferenciable, porque no se puede trazar una recta tangente.
La diferenciabilidad involucra continuidad, pero la continuidad no involucra diferenciabilidad.
Si la función festá definida en x1, la derivada por la derecha f en x1, representada por f´(x1), está definida como:

o

SI ES QUE EL LIMITE EXISTE.

Si la función f está definida en x1, entonces la derivada por la izquierda f en x1, representada por f´-(x1), está definida por.



SI EL LIMITE EXISTE

De estas definiciones se deduce que una función f definida en un intervalo que contiene a x1 esdiferenciable en x1 si y solo si f’(x1) y f’-(x1) existen y son iguales.


EJEMPLO:
Trace la gráfica de la función y determine si es continua y diferenciable en x1.

1. x1=2
Continuidad
F(2)=1





LA FUNCIÓN ES CONTINUA EN X=2
Diferenciabilidad






COMO f-(2) f’+(2) LA FUNCIÓN NO ES DIFERENCIABLE EN x=2


2.-
y
1-(x+2) si x f(x2)siempre que x1 >x2
Donde x1 y x2 son dos números cualesquiera en el intervalo.
Geométricamente, podemos decir de las definiciones anteriores, que cuando la pendiente de la recta tangente es positivo, la función es creciente y cuando la pendiente de la recta tangente es negativa, la función es decreciente la cual nos conduce al siguiente TEOREMA.
Sea F una función continua en el intervalo...