calculo

GUÍA DE EJERCICIOS Nº 08
Series de Potencias, Series de Taylor



Serie de Potencias

Se llama serie de potencias a la serie del tipo:

,

Más en general, cualquier serie de la forma,

Se dice que es una serie de potencias centrada en c, donde c es una constante.

El intervalo donde la serie converge se le llama intervalo de convergencia y a radio de convergencia, elque se puede calcular por:



Así, la serie de potencias converge y es continua en cada punto de su intervalo de convergencia



1. Determine el radio de convergencia de las siguientesseries de potencias:
a.

b.

c.

d.


2. Determine el intervalo de convergencia de las siguientes series:

a.

b.

c.

d.


3. Asociar cada gráfica de lasdiez primeras sumas parciales de la serie


con el valor indicado de la función:

I ) g(1) II) g(2) III) g(3,1) IV) g(-2)Solución: I)- c) II)- a) III) – b) IV) – d)



Serie de Taylor

Sea una función infinitamentederivable en un intervalo
Se llama Serie de Taylor de f (centrada) en c a la serie



Cuando la series se denomina serie de Maclaurin.

La serie de Taylor representa a la función en elintervalo si y solo sí


donde Rn es el residuo de la fórmula de Taylor

y es algún punto en


4. Para las siguientes funciones, determine la serie de Taylor correspondiente (sólo hasta eltercer grado), en el punto indicado:

a. Solución:

b. Solución:

c. Solución:

d. Solución:


5. Para lassiguientes funciones, determine la serie de MacLaurin (sólo hasta el cuarto grado). Realice el gráfico de la función original y del polinomio encontrado

a.



b....