Calculo

APUNTE 1
CALCULO VECTORIAL

Elaborado por Marina Salamé S.

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1.5 Gradiente, Divergencia, Rotacional y Laplaciano en coordenadas
curvilíneas.
En muchos problemas

es común usar otras coordenadas además de las cartesianas,

por ejemplo cuando en un problema interviene simetría cilíndrica o esférica. Por esto es
necesario transformar el gradiente, la divergencia y elrotacional en estas nuevas
coordenadas.

1.5.1 Coordenadas curvilíneas generalizadas ortogonales
En muchos problemas es más cómodo determinar la posición de un punto P del espacio
no con tres coordenadas cartesianas (x,y,z) sino que con otros números (u1,u2,u3) que son
mas apropiados para el problema particular examinado.
En general, cualquier terna de familias de superficies puede definir unsistema de
coordenadas:
U1(x,y,z) = u1

U2(x,y,z) = u2

U3(x,y,z) = u3

Estas ecuaciones permiten transformar de coordenadas cartesianas al nuevo sistema.
Despejando x,y,z se realiza el paso inverso.
Supongamos que a cada punto P del espacio le corresponde una terna (u1,u2,u3),
viceversa, a cada terna le corresponde solo un punto P . En este caso las magnitudes
u1,u2,u3 se llamancoordenadas curvilíneas del punto P.
El vector posición se puede obtener a partir de las coordenadas cartesianas:

r =xˆ + y ˆ + zˆ
x
y
z

ˆ
u3
u1 = cte
u2 = cte

ˆ
u2
ˆ
u1
u3 = cte

Elaborado por Marina Salamé S.

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En general las coordenadas no son distancias,

un incremento infinitesimal de una

coordenada y el desplazamiento correspondiente se relacionan através de un factor de
escala

∂r
≠1 ⇒
∂ ui

∂r
ˆ
= hi ui
∂ ui

ˆ
⇒ dli = hi dui ui

expresión que permite obtener los vectores unitarios y sus factores de escala.
Se llaman superficies coordenadas en el sistema de coordenadas curvilíneas u1,u2,u3 las
superficies u1 = c1, u2 = c2, u3= c3
En las superficies coordenadas una de las coordenadas conserva su valor constante.
Si lassuperficies son ortogonales el sistema será curvilíneo y ortogonal.

ˆ ˆ
u1 ⋅ u2 = 0
ˆ
ˆ
ˆ
u1 × u2 = u3

ˆ ˆ
u2 ⋅ u3 = 0
ˆ
ˆ
ˆ
u2 × u3 = u1

ˆ ˆ
u3 ⋅ u1 = 0
ˆ
ˆ
ˆ
u3 × u1 = u2

Las líneas de intersección de dos superficies coordenadas se llaman líneas coordenadas
Un desplazamiento infinitesimal se puede describir como:

ˆ
ˆ
ˆ
dl = h1 du1u1 + h2 du2 u2 + h3 du3 u3
dl =( h1 du1 )2 + ( h2 du2 )2 + ( h3 du3 )

2

Todos los coeficientes de transformación de los vectores unitarios de un sistema de
coordenadas ortogonal en otro ortogonal se

repiten en la transformación inversa en

posición transpuesta.
Se puede definir una matriz de rotación [ R ] que es ortogonal ( [ R ]

−1

= [ R]

T

Como ejemplo de las coordenadas curvilíneas examinemos lascoordenadas cilíndricas y
esféricas.

Elaborado por Marina Salamé S.

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Coordenadas cilíndricas
Z

En coordenadas cilíndricas la posición del punto P
se determina por tres coordenadas: ρ ,ϕ ,z
coordenadas que deberán variar en los márgenes:

ˆ
z

⎧0 ≤ ρ < + ∞
⎪
⎨0 ≤ ϕ < 2π
⎪−∞ < z < + ∞
⎩

ˆ
ϕ

P
z

ˆ
ρ
Y

ϕ

Las superficies coordenadas son:

ρ1) ρ = Constante, cilindros circulares con el eje OZ

ϕ = Constante, semiplanos adyacentes al eje OZ X
3) z = Constante, planos perpendiculares al el eje OZ
2)

Las líneas coordenadas son:
1) líneas ρ , rayos perpendiculares al eje OZ que tienen su origen en este eje.
2) líneas ϕ , circunferencias con el centro en el eje OZ.
3) líneas z , rectas paralelas al eje OZ.

La relaciónentre las coordenadas cartesianas (x,y,z) de un punto y sus coordenadas
cilíndricas ( ρ ,ϕ ,z ) se determinan por las formulas:

⎧ x = ρ cos ϕ
⎪
⎨ y = ρ sen ϕ
⎪z = z
⎩

Elaborado por Marina Salamé S.

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Vectores unitarios y factores de escala:

x
y
z
El vector de posición esta dado por: r = ρ cos ϕ ˆ + ρ sen ϕ ˆ + z ˆ
Derivando con respecto a ρ ,ϕ ,z :

∂r
= cos...