calculo

Criterios exponenciales
lim g(f -1)

1º lim f g  1  e xa
x a

lim
1
lim (1  ) x  1  e
x 
x

x  

1
x (1 1)
x

e

lim 1

x 

5
lim 3 x (1
1)
lim
5 3 x 
2 x 1
lim (1 
) 1  e
e
x 
2x  1
x 

x 

 e1  e

15x
2 x 1

15
2

 e  e15

 00 
2º lim f   0   lim e gLf
x a
  x a
g

lim ( x x )  00 lim e Lx  lim e xLx  lim e0  1
x

x 0

x 0

1

lim ( x x )  () 0  lim e Lx

x 

x  0

x 0

x 0

1

Lx
x

 lim e x  lim e0  1
x 

x 

Criterio de Taylor
Consiste en sustituir una parte de la función f por uno de sus
polinomios de Taylor y el orden del error correspondiente .
x3
x   0( x 3 )  x
senx  x
x 0( x 3 )
3
lim
 lim
lim ( 
)0
x 0
x 0
x 0
x2
x2
3
x2

El método de equivalencias es un caso particular con el
polinomio de Taylor de grado 1
senx
tgx
 lim
 lim [ 1  0(  x) ]  1
x 0
x 0
x
x
L(1  x)
ex 1
lim
 lim
 lim0 [1  0(  x) ]  1
x 0
x 0
x
x
x
arcsenx
arctgx
lim
 lim
 lim [1  0(  x) ]  1
x 0
x 0
x 0
x
x
lim
x 0

lim
x 0



2 x  senx0
  lim
1  cos x 0 x0



senx
2  1  0( x)
1  0( x)
x
 lim
 lim
 2
x 0
x 0
x
1
1  cos x
sen
(1  0( x))
2
2
2
x
x
2

2





senx
1
senx  x
1  0( x)  1
0( x)
x
lim
 lim
 lim
 lim
?
2
x 0
x 0
x 0
x 0
x
x
0( x)
0( x)

Criterio del valor medio
f( x  c)  f ( x)
 c  lim f (t)
t  
( x  c)  x
en
t
( x, x  c) )

lim (f( x  c)  f ( x))  c  lim
x  
x  
( f derivable

1

lim (( x  2)e
x  

1
x2

1

1
( x  2)e x  2  xe x
1
 xe )  2  lim
 2  lim f (t)  2 lim [e t (1  )]  2
x  
t  
t  
( x  2)  x
t
( f derivable en t  ( x, x  2) )
1
x

Criterios de acotación

A)

lima f ( x )  0 
x
  lim [ f( x )  g( x ) ]  0
xa
g( x ) acot ada 
1

senx
0 
]0
  xlim [
x
 
x
senx acot ada 

lim
x 

B)

lim

lim h( x)  L  lim g( x)
x a
x a
  lim f( x)  L
x a
h( x)  f( x)  g( x) 

1
1
1
1
1
1
1 1 n1 1 n  1


 0 , porque : 0  2 

 2  2   2  2  0
n 2 n  12
n n  12
n
n
n  n2
n  n2 n n

C ) f( x)  g( x)    lim f( x)  x a
lim

D) f( x)  h( x)    lim f( x)  
x a

1
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n


  , porque :






  
n 1 n  2
nn
n 1 n  2
nn nn nn
n  n 2n 2

E ) lim f ( x)  0  lim f ( x)  0
x a
x a

Criterio de Stoltz
lim

an
a a
 lim n n1  l  
bn
b n  b n 1
bn  

1 4  9   n2
n2
lim
 lim 2  1
5  8  13   n 2  4
n 4

lim

a1  a 2    a n
 a  lim a n
n

lim

n

a1a 2 a n  a  lim a n

Criterio integral
b-a n 
b-a b
lima n  lim
f a  i
  a f x dx

n i1 
n 

n
n
n
1 n n2
1 n 1
lim

 
 lim 
 lim 
2
2
2
2
2 
i 1 n  i 
i 1 
n  1 n  2
n  n
n
n
i
1  
 n
1 n i 1 1
 1
 lim  f    0
2 f x dx n i1  n  1  x 
2

Derivación de funciones potencia

f    e   f
gLf

g

g


  g  Lf 

D x 2 x  D e log x  D e 2 x log x  e 2 x log x D2 x log x   x 2 x 2 log x  2
2x

Derivación de funciones implícitas
Se derivan ambos miembros de la igualdad, teniendo en cuenta que
y es función de x .





y3  2 x 2  5 xy  4  0  3 y 2 y  4 x  5 y 5 xy  0  3 y 2  5 x y  5 y  4 x  y 

5 y  4x
3 y 2  5x

f x, y   0  y  I x, y 

Se observa que:

Derivación logarítmica
Consiste en aplicar logaritmos en ambos lados de la función y derivar
implícitamente:
y  x x  ln y  ln x x  ln y  x ln x 

1
1
y'  ln x  x·  y'  x x 1  ln x 
y
x

Derivación de funciones inversas


f  f -1 x  ...