Calculo

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 4. Números reales y números complejos

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

EJERCICIOS RESUELTOS DE NÚMEROS COMPLEJOS
3
y z4 =7i, calcular:
2

1. Dados z1 = -3+4i, z2 = 5-2i, z3 =
b) z 1 z4 + z 3 z4

f)

g) z1 + z2

z1 z2

(

)

−1

c) z1 + z4 - 5z2

d) z1 + z3-1

h) z 1 2 z 3

a )(z 1 - z 2 ) z 3

i)

z2
z1

e) z2-1
j)

z1
2z3 + z4

Solución
a) Para calcular (z1 - z2) z3, en primer lugar se calcula la operación del paréntesis y a continuación se
multiplica el resultado por z3:
(z1 - z2) z3 = (-3+4i – (5-2i))

3
3
3
= (-3-5+(4+2)i) = (-8+6i) = -12+9i
2
2
2

b) En primer lugar se calculan z1 z4 y z3 z4 para después sumar los resultados:
z1 z4 = (-3+4i) 7i = -21i+28i2 =-28-21i
3
21
7i =
i
2
2

z3 z4 =

z1 z4 + z3 z4 = -28-21i +

21
21
i = -28 i
2
2

Notar que otra forma de obtener este resultado es sacar factor común z4 quedando:

⎛
⎝

z1 z4 + z3 z4 = (z1 + z3) z4 = ⎜ −3 + 4i +

3⎞

⎛ −3 + 4i ⎞ 7i = −21 i + 28i 2 = −28 − 21 i
⎟ 7i = ⎜
⎟
2⎠
2
2
⎝2
⎠

c) En primer lugar se calcula la operación z1 + z4 - 5z2 = -3+4i + 7i – 5(5-2i) = -28+21i y después
se calcula suconjugado, z1 + z4 - 5z2 = -28-21i
d) El inverso de z3 es z3-1 =

1
2
2
-7
=
y, por tanto, z1 + z3-1 = -3+4i + = +4i
3
3
3
3
2

e) Para calcular el inverso de z2 = 5-2i se puede proceder de dos formas:
5
-2
5
2
i=
+
i
52+(-2)2 52+(-2)2
29
29

•

mediante la definición: z2-1 =

•

escribiéndolo como un cociente y efectuando la división multiplicando el numerador y el
denominador por el conjugado deldenominador:
z2-1 =

1
1
1(5+2i)
5+2i
5+2i
5
2
=
=
=
=
=
+
i
z2
5-2i
(5-2i)(5+2i)
25-4i2
29
29
29

f) Teniendo en cuenta que el conjugado del conjugado de un número es el propio número, es decir,
z1 z2

= z1 z2, se tiene

z1 z2

= z1 z2 = (-3+4i)(5-2i) = -15+6i+20i-8i2 = -7+26i

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1

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidaddidáctica 4. Números reales y números complejos

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

g) En primer lugar, se realiza la suma de z1 y z2, después se calcula el conjugado de este resultado
y finalmente el inverso de éste último:
z1 + z2 = -3+4i + 5-2i = -3+5+(4-2)i = 2+2i
z1 + z2 = 2-2i

(z

1

+ z2

)

−1

=

1
1(2+2i)
2+2i
2+2i
11
=
=
=
=+i
2-2i
(2-2i)( 2+2i)
4-4i2
8
44Observar que se podría haber invertido el orden de realización de las dos últimas operaciones ya
que se verifica

( a + bi )

h) z12 z3 = (-3+4i)2

−1

= (a+bi)-1

3
3
-21
3
3
= (9-24i+16i2) = (9-24i-16) = (-7-24i) =
- 36i
2
2
2
2
2

i) Se efectúa el cociente multiplicando numerador y denominador por el conjugado del
denominador:
5-2i
(5-2i)(-3-4i)
-15-20i+6i+8i2
-15-14i-8
-23-14i
-23 14
z2
=
=
==
=
=
i
z1
-3+4i
9-16i2
25
25 25
(-3+4i)(-3-4i)
9+16
j) En primer lugar se calcula el denominador
3
2z3 + z4 = 2 + 7i = 3+7i
2
y, multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador, el cociente queda:
-3+4i
(-3+4i)(3-7i)
-9+21i+12i-28i2
-9+33i+28
19+33i
19 33
z1
=
=
=
=
=
=
+
i
2z3 + z4
3+7i
9-49i2
58
58 58
(3+7i)(3-7i)
9+49

2. Dados los números complejos z1 = 2-i y z2 = 3+6i,determinar el número x que verifica cada una
de las siguientes igualdades:
a ) z 1 + x = z2

b) z12 x = 1

c) z1 + z2 + x = 1 d) z22 + x = -z12

e) z 2 x = z 1

Solución
a) Despejando x se tiene x = z2 - z1 = 3+6i – (2-i) = 3-2+(6+1)i = 1+7i
b) Despejando x se tiene x =

1
que existe al ser z12 no nulo.
z12

Aplicando la fórmula del cuadrado de una diferencia, se tiene:

z12 = (2-i)2 = 4 - 4i + i2= 4 - 4i -1 = 3-4i
y calculando el inverso del resultado anterior queda
x=

1
1
1(3+4i)
3+4i
3+4i
3+4i
3
4
=
=
=
=
=
=
+
i
z12
9-16i2
9+16
25
3-4i
25 25
(3-4i)(3+4i)

c) Despejando x se tiene x = 1 - z1 - z2 = 1 - (2-i) – (3+6i) = 1 - 2 - 3 + (1-6)i = -4-5i
d) Despejando x se tiene x = -z12 - z22. Calculando el cuadrado de z1 y z2 se tiene:

z12 = (2-i)2 = 4 - 4i + i2 = 4 - 4i - 1 = 3-4i
©...