calculo

Ayudantía VI: Función Cuadrática.
Problema 1: La función de ingreso para el fabricante de cierto artículo es
p = f (q ) = 1200 − 3q , donde p es el precio en dólares por unidad cuando se demanda q
unidades por semana. Determine el nivel de producción que maximiza el ingreso total de
fabricante y determine el ingreso máximo.
Solución:
El ingreso total se obtiene multiplicando el preciounitario por la cantidad, luego el ingreso
total “I” en función de la cantidad, en este caso, es:

I (q ) = (1200 − 3q ) ⋅ q = 1200q − 3q 2

Note que se trata de una parábola que “abre” hacia abajo (cóncava)
Luego en el vértice se encuentra el máximo buscado.
Recuerde que si la función cuadrática es y = ax 2 + bx + c , entonces:

 b
 b 
i) Las coordenadas del vértice son: V :  −
 2a, f  − 2a  




ii) La primera coordenada corresponde a la variable independiente “ x ” y la segunda a la
variable dependiente “ y ”, es decir, los puntos del vértice en este caso son de la forma:

V : (unidades , Ingreso )

Por lo tanto, el número de unidades para que el ingreso sea máximo está dado por la
primera coordenada del vértice de la parábola “Ingreso”: I (q ) = 1200q− 3q 2
En efecto: qv = −

1200
= 200
2 ⋅ −3

Luego, con 200 unidades producidas el ingreso es máximo.
El ingreso máximo está dada por la segunda coordenada del vértice, esto es:

I v = I (200) = 1200 ⋅ 200 − 3 ⋅ 200 2 = 120 000
Luego, el ingreso máximo es US$ 120.000.
La gráfica correspondiente a la función ingreso, I (q ) = 1200q − 3q 2 , es:

Desarrollo: David Zúñiga Contreras.Problema 2: La utilidad diaria de la venta de árboles para el departamento de jardinería
de un almacén está dada por p ( x) = − x 2 + 18 x + 144 , donde x es el número de árboles
vendidos. Determine el número de árboles que se requieren vender para obtener la
máxima utilidad.
Solución:
Note que se trata de una parábola que “abre” hacia abajo (cóncava)
Luego en el vértice se encuentra elmáximo buscado.
Recuerde que si la función cuadrática es y = ax 2 + bx + c , entonces:

 b
 b 
i) Las coordenadas del vértice son: V :  −
 2a , f  − 2a  




ii) La primera coordenada corresponde a la variable independiente “ x ” y la segunda a la
variable dependiente “ y ”, es decir, los puntos del vértice son de la forma:

V : ( N º árboles , utilidad )

Por lo tanto,el número de árboles para que la utilidad sea máxima está dado por la
coordenada “x” del vértice de la parábola “utilidad”: p ( x ) = − x 2 + 18 x + 144
En efecto: xv = −

18
=9
2 ⋅ −1

Luego, se deben vender 9 árboles (al día) para que la utilidad diaria sea máxima.
La utilidad máxima está dada por la coordenada “ y ” del vértice, esto es:

yv = p (9) = −(9) 2 + 18(9) + 144 = 225Luego, la utilidad máxima es 225 unidades monetarias.
La gráfica correspondiente a la función ganancia p ( x) = − x 2 + 18 x + 144 es:

Desarrollo: David Zúñiga Contreras.

Problema 3: El costo de producción de x artículos está dado por la fórmula
c( x) = 3 x 2 − 400 x + 20000 y la recaudación total en la venta de x artículos está dada por
la función: v( x) = 2 x 2 + 200 x − 30000 ¿Cuántosartículos se deberían vender para
obtener la máxima ganancia? ¿De cuánto será esa ganancia?
Solución: Note que la ganancia esta dada por la diferencia entre el ingreso total y el costo
total. El ingreso total es V ( x) = 2 x 2 + 200 x − 30000 y el costo de “ x ” artículos, es decir,
costo total es C ( x) = 3 x 2 − 400 x + 20000
Así la función de ganancias es: G ( x) = (2 x 2 + 200 x − 30000) − (3x 2 − 400 x + 20000)

G ( x) = − x 2 + 600 x − 50000
Note que se trata de una parábola que “abre” hacia abajo (cóncava)
Luego en el vértice se encuentra el máximo buscado.
Recuerde que si la función cuadrática es y = ax 2 + bx + c , entonces:

 b
 b 
i) Las coordenadas del vértice son: V :  −
 2a , f  − 2a  




ii) La primera coordenada corresponde a la variable...