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TEOREMA DE ROLLE
El teorema del valor extremo establece que una función continua en un intervalo cerrado [a, b] debe tener tanto un mínimo como un máximo en el intervalo. Ambos valores, sinembargo, pueden ocurrir en los puntos extremos. El teorema de Rolle (en honor al matemático francés Michael Rolle (1652-1719), proporciona las condiciones que garantizan la existencia de un valor extremo enel interior de un intervalo cerrado.
Teorema 3.3 El teorema de Rolle
Sea f continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo (a, b).
Si f (a) = f (b)
Entonces existe al menosun número c en (a, b) tal que f’(c) = 0.
Ejemplo 1 (un solo punto)
Encontrar las dos intersecciones en x de
f (x)= x2 – 3x + 2
Y demostrar que f’(x) = 0 en algún punto entre las dosintersecciones en x.
Para empezar hay que verificar que f es derivable en toda la recta real. Igualando a 0 f(x) se obtiene
X2 – 3x + 2 = 0 Igualar f ‘(x) a cero
(x - 1)(x – 2) = 0 Factor
De tal modo,f(1) = f(2) = 0, y de acuerdo con el teorema de Rolle se sabe que existe al menos una c en el intervalo (1,2) tal que f’(c) = 0. Para determinar una c de este tipo, es factible resolver la ecuación
f’(x) = 2x – 3 = 0 Igualar f ’(x) a cero
Y determinar que f’(x) = 0 cuando x =3/2. Advertir que el valor de x se encuentra en el intervalo abierto (1,2).
El teorema de Rolle establece que si f satisfacelas condiciones del teorema, debe haber al menos un punto entre a y b en el cual la derivada es 0. Es posible que exista más de un punto de estas características.
Ejemplo 2 (más de un punto)
Seaf(x) = x4 – 2x2. Determinar todos los valores de c en el intervalo (-2,2) tal que f ’(c) = 0.
Para empezar, verificar que la función satisface las condiciones del teorema de Rolle. Esto es, f escontinua en el intervalo [-2, 2] y derivable en el intervalo (-2, 2). Además, debido a que f(-2) = (2) = 8, es posible concluir que existe al menos una c en (-2, 2) tal que f’(c) = 0. Igualando a 0 la...