Calculo

UNIVERSIDAD PERUANA UNION
Facultad de Ingeniería y Arquitectura
E.A.P. Ingeniería de Sistemas





Ecuaciones diferenciales
Monografía presentada en cumplimiento del Curso de Cálculo II


Profesor:
Lic. Michel Francisco Carranza Quevedo


Integrantes:
Moran Nureña Felipe
Torres Arrieta Leydi







Lima, junio 2014


ÍNDICE
I. Ecuación diferencial ordinaria.Clasificación, orden y grado. Solución por integración directa, existencia y unicidad. Aplicaciones.
II. Ecuaciones diferenciales de variable separable.
III. Ecuaciones diferenciales homogéneas, reducibles a homogéneas.
IV. Ecuaciones diferenciales exactas.
V. Bibliografía.























I. Primera Semana: “Ecuación diferencial ordinaria. Clasificación, orden ygrado. Solución por integración directa, existencia y unicidad”

a) Definición: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas (o diferenciales) de una función desconocida de una o más variables.

b) Tipo: Si la función desconocida depende sólo de una variable, la ecuación se llama una ecuación diferencial ordinaria. Sin embargo, si la función desconocida depende de más de unavariable la ecuación se llama una ecuación diferencial parcial.

Un ejemplo de ecuación diferencial ordinaria es:

La variable independiente (v. i) es x
La variable dependiente (v. d) es y

Un ejemplo de ecuación diferencial parcial es:

La variable independiente (v. i) es "x" y "y"
La variable dependiente (v. d) es V

c) Orden: Es laderivada de orden más alto que aparece en la ecuación diferencial.
Es innecesario decir que el estudio de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales requiere unas técnicas matemáticas que están fuera del alcance del alumno, por lo que nos restringiremos al análisis de las ecuaciones diferenciales ordinarias.

d) Ejercicios:
Verificar por sustitución
a.









b.Solución:







c.
Solución:







Clasificación orden y grado:
a.
b.
c.
d.
e.




Solución por integración directa:
a.








b.







c.











II. Segunda Semana: “Ecuaciones diferenciales de variable separable.”
a) Definición: El método de separación de variables se refiere a un procedimiento para encontrar una solucióncompleta particular para ciertos problemas que involucran ecuaciones en derivadas parciales como serie cuyos términos son el producto de funciones que tienen las "variables separadas".
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de la forma:
y’=f(x, y)
se dice de Variables Separables si es posible factorizar F(x, y) en la forma:
F(x,y)=f(x).g(x)
b) Pasos para resolver: Una EDO devariables separables puede resolverse usando la siguiente estrategia:
Paso I: Factorizar el segundo miembro
Factorizar F(x,y)=f(x).g(y)
si tal factorización no es posible, se concluye que la ED no es de variables separables y el procedimiento no continua.
Paso II: Separar las variables
Hacer álgebra para poner variables diferentes en lados diferentes:
Y’=F(x,y) =f(x,y).g(y)

= = f(x)
PasoIII: Integrar
Integrando la expresión anterior con respecto a ‘’x’’ obtenemos:
=
o simplemente:
=

Paso IV: Despejar “y”
Opcional Debido a que “y” representa la función incógnita a determinar, lo ideal es determinarla por completo, es decir tener como solución una expresión de la forma:
Y = Expresión en x

En caso que este despeje sea posible, se dice que la solcuón está dada en formaexplícita, en caso contrario (cuando no fue posible despejar “y”) se dice que la solución está dada en forma implícita.


c) Ejercicios:
1.-
Solución:



Otra posible solución:



2.
Solución:




3.-
Solución:


Elevando a la sexta potencia ambos términos:




4.-
Solución:


Elevando a la mn potencia ambos términos:



5.-

Multiplicando por...