Calculo

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ

Cálculo 1

Solución de Prácticas y Exámenes

Iris Flores Quesquén José Flores Bautista.

Lima-Perú 2012

Índice general

1. Funciones reales de variable real. 2. Límites y continuidad 3. Derivada. 4. Función inversa.

1 16 54 141

E

Capítulo 1
Funciones reales de variable real.

1. Dadas las siguientes funciones f y g denidas porf (x) = 4x − 4 , x ≤ 3

y

g(x) = 2x + 2 , x ≥ −3.

Encuentre el dominio, el rango y gráque la función f /g . P.C.1-2009-1

Solución

La nueva función

f (x) 4x − 4 4 = =2− ; −3 ≤ x ≤ 3 , x ̸= −1. g(x) 2x + 2 x+1
Gráca de
f g .(g.1.2)

Figura 1.1:

1

Para hallar el rango de f . Si −3 ≤ x < −1 ⇒ −2 ≤ x + 1 < 0 ⇒ 4 2 − x+1 ≥ 4. 4 De manera similar, si −1 < x ≤ 3 ⇒ 1 ≥ 2 −x+1 . Luego, Ran(f ) =] − ∞, 1] ∪ [4, +∞[. 2. Dada la función f denida por   4x − 3 −5 f (x) =  2x + 1

, , ,

x 2.

Graque f y, en dicha gráca, indique para qué valores de x tal que x ̸= 2 se cumple 4 < f (x) < 6. P.C.2(1a)-2009-1.

Solución

Figura 1.2: Gráca de f . A partir del gráco tenemos que cuando cumple que 4 < f (x) < 6. 3.
7 4

< x <

5 2

con x ̸= 2 se

a)Analice si la siguiente armación es verdadera o falsa: Si f y g son dos funciones decrecientes, entonces f ◦ g es creciente. Justique su respuesta. 2

b) Demuestre que la función f denida por √ 1 f (x) = 3 − 2 x−1 2 es decreciente. E.P(2)-2009-1.

Solución
a) Si f y g son funciones decrecientes, entonces para x1 < x2 ⇒ g(x1 ) > g(x2 ), y si y1 < y2 ⇒ f (y1 ) > f (y2 ). Si y = g(x) entoncesx1 < x2 ⇒ g(x2 ) < g(x1 ) ⇒ f (g(x1 )) < f (g(x2 )).
Por tanto , la proposición es verdadera. b) El dominio de f es: Dom(f ) = [2, +∞[. Sean x1 , x2 dos números en el dominio de f , tal que si 2 ≤ x1 < x2 entonces

⇒

1 1 x1 − 1 < x2 − 1 2 2 √ √ 1 1 ⇒ 3−2 x1 − 1 > 3 − 2 x2 − 1 2 2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ).

Luego, f es decreciente. En consecuencia la proposición es verdadera. 4. Sea y = f(x) una función decreciente. Pruebe usando la denición que la función g(x) = x3 + f (−x) es creciente. P.C.1(4b)-2009-2.

Solución

Por ser f decreciente, se tiene

x1 < x2 ⇒ −x1 > −x2 ⇒ f (−x1 ) < f (−x2 ).
Por propiedad en R,

(1.0.1)

x1 < x2 ⇒ x3 < x3 . 1 2
3

(1.0.2)

De las ecuaciones (1.0.1) y (1.0.2), tenemos

x1 < x2 ⇒ x3 + f (−x1 ) < x3 + f (−x2 ) 1 2 ⇒ g(x1 ) < g(x2 ).Así, g es creciente. 5. En una esfera de radio R se circunscribe un cono circular recto cuya base tiene radio r y su altura es h. a) Exprese el volumen del cono como función de su altura. b) Halle el área de la supercie total del cono en términos de r. P.C.1(5)-2009-1.

Solución

Esbocemos la gráca del problema (ver g. 1.3).

C x E O A D R h

r

B

Figura 1.3: a) Por semejanza delos triángulos ∆CDB ∼ ∆CEO, tenemos

h x Rh = ⇒x= . r R r
También se cumple

(h − R)2 = R2 + x2 .
Luego, de las dos ecuaciones resulta

r2 =
4

R2 h . h − 2R

Por lo tanto,

V (h) =

πR2 h2 , h > 2R. 3(h − 2R)

b) Ahora vamos a expresar el área de la supercie total del cono en función de r. De la gura (1.4)
B

h

l

A

D

r

C

Figura 1.4:

√ Tenemos el árealateral del cono: AL = πrl = πr h2 + r2 . El área de la base: Ab = πr2 . De la primera parte se tiene la relación entre r y h, AL = πr2 (r2 + R2 ). r 2 − R2

Por lo tanto, el área total A = AL + Ab en función a r es

A(r) =
6. Dada la función f denida por

2πr4 , r > R. r 2 − R2

f (x) = x2 + 4x + 3 , si x > 0.
Encuentre una función g tal que sea impar, tenga como dominio a los númerosreales y cumpla g(x) = f (x), para todo x > 0. P.C.1(1a)-2009-2.

Solución

La nueva función g debe ser impar, esto es, g(−x) = −g(x). Para hallar su regla de correspondencia se tienen los siguientes casos:

5

Caso x > 0.De la condición del problema g(x) = f (x) = (x + 2)2 − 1. Caso x < 0. Reejamos f respecto al origen de coordenadas.
De x > 0 → −x < 0 y

g(−x) = −g(x) = −f (x) =...